Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 11 ΘΕΜΑΤΑ [Β] των τελευταίων ετών των Πανελλαδικών Εξετάσεων

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση $g(x)={\displaystyle \frac{4-e^{2x}}{e^x}}$  και η συνάρτηση με τύπο $h(x)=lnx$.

Β1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $h=f\circ g$.

Έστω

$f(x)={\displaystyle \frac{4-x^2}{x}}$, $x>0$

Β2. i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία (μονάδες 4).

ii) Να αποδείξετε ότι

${\displaystyle \frac{4-{\pi }^2}{4-e^2}}>{\displaystyle \frac{\pi }{e}}$

Β3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$.

Β4. Να υπολογίσετε το

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu (1+{\chi }^2)}{f(x)}}$. 

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση  $f(x)=x^4-2x^2+1$ και η συνάρτηση $g(x)=\sqrt{x}$ 

Β1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $h=f\circ g$ 

Β2. Αν  $h(x)=(x-1{)}^2$ , $x\in [0,1]$, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h$ είναι $"1-1"$ 

και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση  $h^{-1}$ της $h$.

Β3. Έστω 

$h^{-1}(x)=1-\sqrt{x}$, $x\in [0,1]$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{h^{-1}(x)}{1-\chi }}& x\in [0,1)\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& x=1\end{array}$ 

(i) Να αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση $\phi$ ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο $[0,1]$ . 

(ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_0\in (0,1)$ τέτοιο ώστε $\phi (x_0)=\eta \mu \alpha$, όπου ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται οι συναρτήσεις

$f:(1,+\infty )\to R$ με τύπο $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x-1}}$ και

$g:(0,+\infty )\to R$ με τύπο $g(x)=lnx$. 

Β1. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τις κατακόρυφες και οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ .

Β2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=g(x)$ έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα $(e,e^2)$.

Β3. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $\phi =g\circ f$

Β4. Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση με τύπο

$h(x)=ln({\displaystyle \frac{x}{x-1}})$

Αν

$\phi (x)=lnx-ln(x-1)$ , $x\in (1,+\infty )$,

να εξετάσετε αν $\phi =h$.

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται ότι 

$f(x+1)=(x+1)e^{-x}$

για κάθε $x\in R$.

Β1. Να δείξετε ότι

$f(x)=x{e}^{1-x}$

Β2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Β3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την κυρτότητα, τα σημεία καμπής και να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης, αν υπάρχουν.

Β4. Να βρείτε:

(i) το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$

(ii) το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $f(x)=\lambda$, για τις διάφορες τιμές του $x\in R$.

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση $f:(1,+\infty )\to R$ με τύπο $f(x)={\displaystyle \frac{1}{1-\sqrt{\chi }}}$ και η συνάρτηση $f:(1,+\infty )\to R$ με τύπο $g(x)=\sqrt{\chi }$. 

Β1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφή της είναι η συνάρτηση

 $f^{-1}(x)=({\displaystyle \frac{x-1}{x}}{)}^2$ , $x<0$

Β2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h=g\circ f^{-1}$  είναι η $h(x)={\displaystyle \frac{x-1}{x}}$, $x<0$.

Β3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $h$ του ερωτήματος Β2.

Β4. Να υπολογίσετε το όριο που $h$ είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Β2.

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται οι συναρτήσεις:

$f:(1,+\infty )\to R$ με τύπο $f(x)={\displaystyle \frac{x+2}{x-1}}$ και η συνάρτηση $f:R\to R$ με τύπο $g(x)=e^x$.

B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $f\circ g$.

B2. Αν

$(f\circ g)(x)={\displaystyle \frac{e^x+2}{e^x-1}}$, με $x>0$

να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f\circ g$ είναι $‘1-1^{\prime }$ και να βρείτε την αντίστροφή της.

B3. Αν

$\phi (\chi )=(f\circ g{)}^{-1}(x)=ln({\displaystyle \frac{x+2}{x-1}})$, με $x>0$

να μελετήσετε τη συνάρτηση $\phi$ ως προς τη μονοτονία.

B4. Αν $\phi$ είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Β3, να βρεθούν τα όρια

  $\underset{x\to 1^{+}}{lim}\phi (x)$  και   $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\phi (x)$.  

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)={\displaystyle \frac{3x+1}{x-3}}$, $x\ne 3$.

Β1. Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται για $x\ne 3$.

B2. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις $f$ και $f^{-1}$ είναι ίσες.

B3. Να αποδείξετε ότι

$(f\circ f)(x)=x$

για κάθε $x\ne 3$.

B4. Να υπολογίσετε το όριο

  $\underset{x\to -\frac{1}{3}}{lim}(f(x)\eta \mu {\displaystyle \frac{1}{3\chi +1}})$.  

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται οι συναρτήσεις 

$f(x)=x^2+a$ και $g(x)=x+b$ 

για τις οποίες ισχύει

$(f\circ g)=x^2-2x$.

Β1. Να αποδείξετε ότι $a=b=1$.

Β2. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις $f,g$ είναι $1-1$ και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτησή τους, εφόσον αυτή υπάρχει.

Β3. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση

$(f\circ g)=x^2-2x$

και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

$\phi (x)=\sqrt{(g^{-1}\circ f)(x)}$

Β4. Αν για την συνάρτηση $h: [0, 1]→ R$, ισχύει

$f(x)+2\le h(x)\le g(x)+2$

για κάθε $x\in [0,1]$, τότε

i) να αποδείξετε ότι $\underset{\chi \to 1}{lim}h(x)=2$ 

ii) να υπολογίσετε το όριο 

$\underset{\chi \to 1}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{h(x)+7}-3}{h^2(x)-4}}$.

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται οι συναρτήσεις

$f(x)=(x+\alpha {)}^2-1$, $x\in [-1,+\infty )$

και 

$g(x)=x^2-1$, $x\in R$.

Αν η κλίση της γραφικής παράστασης $C_f$ της $f$ στο σημείο με τετμημένη $x_0=0$ είναι ίση με $2$, τότε :

Β1. Να αποδείξετε ότι $\alpha =1$.

Β2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της,

Αν

$f^{-1}(x)=\sqrt{x+1}-1$, $x\in [-1,+\infty )$

τότε:

Β3. να βρείτε τη συνάρτηση $f^{-1}\circ g$

Β4. να βρείτε το όριο

$\underset{x\to -1}{lim}{\displaystyle \frac{f^{-1}(x)+1}{(f^{-1}\circ g)(x)}}$.

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{-x}+\lambda$, η οποία έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\mathrm{\infty }$ την ευθεία $y=2$.

B1. Να αποδείξετε ότι $\lambda =2$.

B2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)-x=0$ έχει μοναδική ρίζα, η οποία βρίσκεται στο διάστημα $(2,3)$.

B3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$είναι $1-1$ και στη συνέχεια να βρείτε την αντίστροφή της.

B4. Έστω

$f^{-1}(x)=-ln(x-2)$, $x>2$.

Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης και στη συνέχεια να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$ στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

ΘΕΜΑ Β 

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=x^2+1$ και $g(x)=\sqrt{x-2}$. 

Β1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $g\circ f$  έχει πεδίο ορισμού το $A=(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty })$ και τύπο  

$(g\circ f)(x)=\sqrt{x^2-1}$.  

Β2. Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $g\circ f$ στο $+\mathrm{\infty }$.  

Β3. Να εξετάσετε εάν υπάρχει το όριο στο $x_o=2$ της συνάρτησης $h(x)={\displaystyle \frac{(g\circ f)(x)}{x-2}}$. 

Β4. Έστω η συνάρτηση 

$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}(g\circ f)(x)& x\in A\\ 1-x^2& x\in (-1,1)\end{array}$

Να εξετάσετε αν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle για τη συνάρτηση  $f(x)=\phi (x)\eta \mu (\pi x)$ στο διάστημα $[0,2]$.