ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση $g(x)=\dfrac{4-e^{2x}}{e^x}$ και η συνάρτηση με τύπο $h(x)= lnx$.
Β1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $h=f\circ g$.
Έστω
$f(x)=\dfrac{4-x^2}{x}$, $x>0$
Β2. i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία (μονάδες 4).
ii) Να αποδείξετε ότι
$\dfrac{4-π^2}{4-e^2}>\dfrac{π}{e}$
Β3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$.
Β4. Να υπολογίσετε το
$\lim_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{συν(1+χ^2)}{f(x)}$.
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^4-2x^2+1$ και η συνάρτηση $g(x) = \sqrt{x}$
Β2. Αν $h(x)= (x- 1)^2$ , $x\in [0,1]$, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h$ είναι $"1- 1"$
και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση $h^{-1}$ της $h$.
Β3. Έστω
$h^{-1}(x)=1-\sqrt{x}$, $x\in [0,1]$.
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
$φ(x) =\begin{cases} \dfrac{h^{-1}(x)}{1-χ} & x \in [0,1) \\ \dfrac{1}{2} & x =1\end{cases}$
(i) Να αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση $φ$ ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο $[0,1]$ .
(ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_0 \in(0,1)$ τέτοιο ώστε $φ(x_0)=ημα$, όπου $\dfrac{π}{6}<α<\dfrac{π}{2}$.
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις
$f : (1, +∞) → R$ με τύπο $f(x) = \dfrac{x}{x-1}$ και
$g: ( 0, +∞) → R$ με τύπο $g(x) = lnx$.
Β1. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τις κατακόρυφες και οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ .
Β2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x) = g(x)$ έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα $(e,e^2)$.
Β3. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $φ = g\circ f$
Β4. Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση με τύπο
$h(x) = ln(\dfrac{x}{x-1})$
Αν
$φ(x) = lnx - ln(x - 1)$ , $x\in (1, +∞)$,
να εξετάσετε αν $φ = h$.
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται ότι
$f(x+1)=(x+1)e^{-x}$
για κάθε $x\in R$.
Β1. Να δείξετε ότι
$f(x)=xe^{1-x}$
Β2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Β3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την κυρτότητα, τα σημεία καμπής και να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης, αν υπάρχουν.
Β4. Να βρείτε:
(i) το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$
(ii) το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $f(x)=λ$, για τις διάφορες τιμές του $x\in R$.
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση $f : (1, +∞) → R$ με τύπο $f(x)=\dfrac{1}{1- \sqrt{χ}}$ και η συνάρτηση $f : (1, +∞) → R$ με τύπο $g(x) =\sqrt{χ}$.
Β1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφή της είναι η συνάρτηση
$f^{-1}(x)= \big(\dfrac{x-1}{x}\big)^2$ , $x<0$
Β2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h=g \circ f^{-1}$ είναι η $h(x)= \dfrac{x-1}{x}$, $x<0$.
Β3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $h$ του ερωτήματος Β2.
Β4. Να υπολογίσετε το όριο που $h$ είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Β2.
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις:
$f : (1, +∞) → R$ με τύπο $f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$ και η συνάρτηση $f : R → R$ με τύπο $g(x) = e^x$.
B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $f\circ g$.
B2. Αν
$(f\circ g)(x)= \dfrac{e^x+2}{e^x-1}$, με $x>0$
να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f\circ g$ είναι $‘1-1’$ και να βρείτε την αντίστροφή της.
B3. Αν
$φ(χ)= (f\circ g)^{-1}(x)=ln(\dfrac{x+2}{x-1})$, με $x>0$
να μελετήσετε τη συνάρτηση $φ$ ως προς τη μονοτονία.
B4. Αν $φ$ είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Β3, να βρεθούν τα όρια
$\lim_{x \rightarrow 1^{+}}φ(x)$ και $\lim_{x \rightarrow +\infty}φ(x)$.
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση
$f(x)= \dfrac{3x+1}{x-3}$, $x \neq3$.
Β1. Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται για $x \neq3$.
B2. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις $f$ και $f^{-1}$ είναι ίσες.
B3. Να αποδείξετε ότι
$(f\circ f)(x) = x$
για κάθε $x \neq3$.
B4. Να υπολογίσετε το όριο
$\lim_{x \rightarrow - \frac{1}{3}} \big(f(x) ημ \dfrac{1}{3χ+1} \big)$.
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις
$f(x)= x^2 +a$ και $g(x) = x+b$
για τις οποίες ισχύει
$(f\circ g)=x^2-2x$.
Β1. Να αποδείξετε ότι $a=b=1$.
Β2. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις $f, g$ είναι $1-1$ και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτησή τους, εφόσον αυτή υπάρχει.
Β3. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση
$(f\circ g)=x^2-2x$
και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
$φ(x)=\sqrt{({g^{-1}}\circ f)(x)}$
Β4. Αν για την συνάρτηση $h: [0, 1]→ R$, ισχύει
$f(x) +2 \leq h(x) \leq g(x) +2$
για κάθε $x \in [0, 1]$, τότε
i) να αποδείξετε ότι $\lim_{χ \rightarrow 1}h(x)=2$
ii) να υπολογίσετε το όριο
$\lim_{χ \rightarrow 1} \dfrac{\sqrt{h(x)+7}-3}{h^2(x)-4}$.
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις
$f(x) = (x+ α)^2 -1$, $x \in [- 1, +∞)$
και
$g(x) = x^2 - 1$, $x\in R$.
Αν η κλίση της γραφικής παράστασης $C_f$ της $f$ στο σημείο με τετμημένη $x_0= 0$ είναι ίση με $2$, τότε :
Β1. Να αποδείξετε ότι $α =1$.
Β2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της,
Αν
$f^{-1}(x)= \sqrt{x+1}-1$, $x \in [- 1, +∞)$
τότε:
Β3. να βρείτε τη συνάρτηση $f^{-1}\circ g$
Β4. να βρείτε το όριο
$\lim_{x \rightarrow {-1}} \dfrac{f^{-1}(x)+1}{(f^{-1} \circ g)(x)}$.
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = e^{-x}+ λ$, η οποία έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία $y =2$.
B1. Να αποδείξετε ότι $λ=2$.
B2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x) - x =0$ έχει μοναδική ρίζα, η οποία βρίσκεται στο διάστημα $(2, 3)$.
B3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f $είναι $1-1$ και στη συνέχεια να βρείτε την αντίστροφή της.
B4. Έστω
$f^{-1}(x)=- ln(x -2)$, $x >2$.
Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης και στη συνέχεια να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$ στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)= x^2+ 1$ και $g(x)= \sqrt{x-2}$.
Β1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $g\circ f$ έχει πεδίο ορισμού το $A = (-\infty ,-1] \cup [1,+\infty)$ και τύπο
$(g\circ f )(x) = \sqrt{x^2-1}$.
Β2. Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $g\circ f$ στο $+\infty$.
Β3. Να εξετάσετε εάν υπάρχει το όριο στο $x_o =2$ της συνάρτησης $h(x) =\dfrac{(g \circ f)(x)}{x-2}$.
Β4. Έστω η συνάρτηση
$φ(x) =\begin{cases}(g\circ f)(x) & x \in A \\ 1-x^2 & x \in (-1,1)\end{cases}$
Να εξετάσετε αν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle
για τη συνάρτηση $f(x)=φ(x)ημ(πx)$ στο διάστημα $[0, 2]$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου