Παραγοντοποίηση της παράστασης $x^4 + x^2y^2 + y^4$

Factorization of x4 + x2y2 + y4

What you should know before…           a2 – b2 = (a + b) (a – b)                      (1)         a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)          (2)         a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)          (3)         a2 + 2ab + b2 = (a + b)2                     (4)

The Round-about Tour   Let us begin with the factorization of x6 – y6 in two ways :   (a) x6 – y6 = (x2)3 – (y2)3 = (x2 – y2)[(x2)2 + x2y2 +(y2)2]                    = (x + y)(x – y)(x4 + x2y2 + y4).                    (b)        x6 – y6 = (x3)2 – (y3)2 = (x3 + y3)(x3 – y3)                          = (x + y)(x2 – xy + y2)(x - y)(x2 +xy +y2).   Which of the above factorization is correct?   Of course, (b) is the complete factorization, (a) is not.   Comparing the results in (a) and (b), we can get:               x4 + x2y2 + y4 = (x2 + xy + y2)(x2 –xy + y2)

Further investigation         x4 + x2y2 + y4    = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2                                    =  (x2 + y2)2 – (xy)2                                                             = [(x2 + y2) + xy] [(x2 + y2) – xy]                                 = (x2 + xy + y2)(x2 –xy + y2)

Similar way   There are some factorization which use the same technique, here is one example:               x4 + 4   = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2                         = (x2 + 2)2 – (2x)2                         = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 – 2x)                         = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2).