Του Νίκου Παπαγγελή
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^x lnx$.
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα.
β) Δίνονται οι συναρτήσεις
$g(x) = lnx$ και $h(x)=e^{-x}$.
1. Να αποδείξετε γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $g$ και $h$ έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο με τετμημένη $x_0 \in (1,e)$.
Έστω $Ε(λ)$ το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται ιός γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $g$ και $h$, τον άξονα $x΄x$ και την ευθεία $x = λ$, με $λ > x_0$.
Να αποδείξετε ότι καθώς o αριθμός $λ$ αυξάνεται, το εμβαδόν $Ε(λ)$ αυξάνεται, αλλά είναι μικρότερο των $(x_0 +1)lnx_0 -x_0 +1$ τετραγωνικών μονάδων.
γ) Να αποδείξετε ότι:
i) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής με τετμημένη $x_1 \in (\dfrac{1}{e}, 1)$ και
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου