Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα

 Του Νίκου Παπαγγελή   

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{x}lnx$. 

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα.

β) Δίνονται οι συναρτήσεις 

$g(x)=lnx$ και $h(x)=e^{-x}$. 

1. Να αποδείξετε γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $g$ και $h$ έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο με τετμημένη $x_0\in (1,e)$. 

Έστω ${\rm E}(\lambda )$ το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται ιός γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $g$ και $h$, τον άξονα $x΄x$ και την ευθεία $x=\lambda$, με $\lambda >x_0$. 

Να αποδείξετε ότι καθώς o αριθμός $\lambda$ αυξάνεται, το εμβαδόν ${\rm E}(\lambda )$ αυξάνεται, αλλά είναι μικρότερο των $(x_0+1)ln{x}_0-x_0+1$ τετραγωνικών μονάδων.

γ) Να αποδείξετε ότι:

i) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής με τετμημένη $x_1\in ({\displaystyle \frac{1}{e}},1)$ και