Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 483o

 Του Ανδρέα Πάτση   

Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\to R$ για την οποία ισχύουν:

Έστω $F$ μία αρχική της $g(x)={\displaystyle \frac{e^x}{f(x)}}$ στο $[0,1]$. Να αποδείξετε ότι:

α. $f^{\prime }(0)=0$ και στη συνέχεια να υπολογίσετε το όριο $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(xf({\displaystyle \frac{1}{x}})-xf(0))$.  

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα