Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 482o

 Του Παύλου Τρύφωνος   

Δίνεται η συνάρτηση 

$f (χ)=4χ^3+3αχ^2 -2$ ,$χ \in R$ 

όπου $α$ είναι ένας σταθερός θετικός πραγματικός αριθμός.

Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση 

δεν παριστάνει εξίσωση ευθείας.

α) Να αποδείξετε ότε $α=1$. 

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$f^3(χ)+  f(χ)=0$

έχει μια τουλάχιστον ρίζα $χ_0$ στο διάστημα $(0,1)$.

γ) Να υπολογίσετε το όριο 

όπου $χ_0$ είναι το $χ_0$ του β) ερωτήματος.

δ) Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $g(χ)=8χ^3+15χ^2+6χ+1$.

Να αποδείξετε ότι από το σημείο $Α(-1,-1$) διέρχεται μοναδική εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα