Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 482o

 Του Παύλου Τρύφωνος   

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(\chi )=4{\chi }^3+3\alpha {\chi }^2-2$ ,$\chi \in R$ 

όπου $\alpha$ είναι ένας σταθερός θετικός πραγματικός αριθμός.

Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση 

δεν παριστάνει εξίσωση ευθείας.

α) Να αποδείξετε ότε $\alpha =1$. 

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$f^3(\chi )+f(\chi )=0$

έχει μια τουλάχιστον ρίζα ${\chi }_0$ στο διάστημα $(0,1)$.

γ) Να υπολογίσετε το όριο 

όπου ${\chi }_0$ είναι το ${\chi }_0$ του β) ερωτήματος.

δ) Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $g(\chi )=8{\chi }^3+15{\chi }^2+6\chi +1$.

Να αποδείξετε ότι από το σημείο ${\rm A}(-1,-1$) διέρχεται μοναδική εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα