Η σταθερά Kaprekar 6174

Αν τα ψηφία ενός 4ψήφιου αριθμού δεν είναι όλα ίδια, υπάρχει ένας συγκεκριμένος αριθμός στον οποίο θα καταλήξουμε αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία. 

Παράδειγμα

Επιλέξτε οποιονδήποτε τετραψήφιο ακέραιο του οποίου τα ψηφία δεν είναι όλα ίδια: π.χ. $4358$

Τακτοποιούμε τα ψηφία από με φθίνουσα σειρά: $8543$

Τακτοποιούμε τα ψηφία με αύξουσα σειρά: $3458$

Αφαιρούμε: $8543 – 3458 = 5085$

Επαναλαμβάνουμε $2-4$  φορές.

Επαναλαμβάνοντας $2-4$ φορές, έχουμε τους ακόλουθους υπολογισμούς:

$8550 – 0558 = 7992$

$9972 – 2799 = 7173$

$7731 – 1377 = 6354$

$6543 – 3456 = 3087$

$8730 – 0378 = 8352$

$8532 – 2358 = 6174$

$7641 – 1467 = 6174$

Όπως μπορούμε να δούμε, μόλις ο αριθμός φτάσει τα $6174$, θα συνεχίσει να επαναλαμβάνεται. Δεν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι από τη στιγμή που τα ψηφία της διαφοράς περιέχουν τα τέσσερα ψηφία $6, 7, 1$ και $4$ με οποιαδήποτε σειρά, η επόμενη διαφορά θα είναι $6174$. Δύο ακόμη παραδείγματα φαίνονται παρακάτω.

Παράδειγμα 2: $2011$

$2110 – 0112 = 1899$

$9981 – 1899 = 8082$

$8820 – 0288 = 8532$

$8532 – 2358 = 6174$

Παράδειγμα 3: $3712$

$7321 – 1237 = 6084$

$8640 – 0468 = 8172$

$8721 – 1278 = 7443$

$7443 – 3447 = 3996$

$9963 – 3699 = 6264$

$6642 – 2466 = 4176$

$7641 – 1476 = 6174$

Το ερώτημα είναι θα φτάσουν όλοι οι τετραψήφιοι αριθμοί στο $6174$ μετά από έναν ορισμένο αριθμό βημάτων; Η απάντηση είναι ναι. 

Ο αριθμός $6174$ ονομάζεται σταθερά Kaprekar. Πήρε το όνομά του από τον Ινδό μαθηματικό Dattaraya Ramchandra Kaprekar.