Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτική άσκηση

 Του Δημήτρη Ουντζούδη   

Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση $f :R \rightarrow R$ για την οποία ισχύουν:

▪ η $f$ είναι τρίτου βαθμού,

▪ για κάθε σημείο $Μ(x,y)$ που ανήκει στη $C_f$  και το $M'(x, y)$ ανήκει στη $C_f$

▪ υπάρχει $δ>0$ τέτοιο ώστε 

$f(x) \geq f(1)$

για κάθε $x  \in (1-δ,δ+1)$.

▪ στο σημείο $x_0  \in R$ που η εφαπτομένη της $C_f$ διαπερνά την $C_f $, η κλίση της $f$ είναι $-3$.

α) Να αποδείξετε ότι

$f(x)=x^3 - 3x$,$x \in R$.

β) Να μελετήσετε την $f$ ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής.

γ) Για κάθε $α\in R$ να δείξετε ότι η εξίσωση ( ως προς x)

έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα.

δ) Αν το $x_1 \in R$ είναι μια από τις ρίζες του ερωτήματος (δ), να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού $m \in (0,+\infty)$, ώστε να ισχύει:

για κάθε $x \in R$.

Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε τη λύση της.