Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτική άσκηση

 Του Δημήτρη Ουντζούδη   

Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση $f:R\to R$ για την οποία ισχύουν:

▪ η $f$ είναι τρίτου βαθμού,

▪ για κάθε σημείο ${\rm M}(x,y)$ που ανήκει στη $C_f$  και το $M^{\prime }(x,y)$ ανήκει στη $C_f$

▪ υπάρχει $\delta >0$ τέτοιο ώστε 

$f(x)\ge f(1)$

για κάθε $x\in (1-\delta ,\delta +1)$.

▪ στο σημείο $x_0\in R$ που η εφαπτομένη της $C_f$ διαπερνά την $C_f$, η κλίση της $f$ είναι $-3$.

α) Να αποδείξετε ότι

$f(x)=x^3-3x$,$x\in R$.

β) Να μελετήσετε την $f$ ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής.

γ) Για κάθε $\alpha \in R$ να δείξετε ότι η εξίσωση ( ως προς x)

έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα.

δ) Αν το $x_1\in R$ είναι μια από τις ρίζες του ερωτήματος (δ), να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού $m\in (0,+\mathrm{\infty })$, ώστε να ισχύει:

για κάθε $x\in R$.

Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε τη λύση της.