Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 477o

 Του Ανδρέα Πάτση   

Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Επιπλέον ισχύει: 

$f' (χ) = 3χ^2 +3χ^2 συνχ^3 +συνχ — χημχ$ 

για κάθε χ\in R$. 

Έστω $F$ μια αρχική της $f$ στο $R$. 

α. Να αποδείξετε ότι 

$f (χ) = χ^3 +ημχ^3 +χσυνχ$

για κάθε χ\in R$.

β. Να αποδείξετε ότι η $F$ είναι κυρτή στο $[0, π/4]$ και στην συνέχεια ότι: 

γ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $F$ δεν έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$. 

δ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα