Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 477o

 Του Ανδρέα Πάτση   

Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\to R$, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Επιπλέον ισχύει: 

$f^{\prime }(\chi )=3{\chi }^2+3{\chi }^2\sigma \upsilon \nu {\chi }^3+\sigma \upsilon \nu \chi —\chi \eta \mu \chi$ 

για κάθε χ\in R$. 

Έστω $F$ μια αρχική της $f$ στο $R$. 

α. Να αποδείξετε ότι 

$f(\chi )={\chi }^3+\eta \mu {\chi }^3+\chi \sigma \upsilon \nu \chi$

για κάθε χ\in R$.

β. Να αποδείξετε ότι η $F$ είναι κυρτή στο $[0,\pi /4]$ και στην συνέχεια ότι: 

γ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $F$ δεν έχει ασύμπτωτη στο $+\mathrm{\infty }$. 

δ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα