Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 472o

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνονται η συνάρτηση $f:R \rightarrow R$ με τύπο 

$f (χ) = αχ^2 + βχe^χ$ 

όπου $α, β \in R$ και η ευθεία $(ε) : ψ = -χ$, η οποία εφάπτεται στη $Ο$ στο σημείο καμπής της, που είναι το $Ο(0, 0)$. 

Δ1.Να αποδείξετε ότι $α = 1$ και $β = -1$. 

Δ2.Να αποδείξετε ότι για κάθε $χ \rightarrow R$, ισχύουν: 

α} $χe^χ \geq e^χ -1$. 

Πότε ισχύει η ισότητα; 

β) $f'(χ) \leq -1$

Δ3.Να αποδείξετε ότι 

'Εστω $F$ μία αρχική συνάρτηση της $f$ στο $R$, με $F(0) = 0$.

Δ4.Οεωρουμε συνάρτηση $g:R \rightarrow R$ με τύπο 

Να αποδείξετε ότι οι $C_f$ και $C_g$ έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη και να βρείτε την εξίσωσή της.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα