Το 1769 ο σπουδαίος Γερμανός φιλόλογος, φιλόσοφος, συγγραφέας, θεατρικός, κριτικός και μεγάλος Ελληνολάτρης G.E. Lessing (1729-1781), έφορος τότε της αξιόλογης βιβλιοθήκης χειρογράφων στο Wolfenbuttel, ανακάλυψε ένα βυζαντινό χειρόγραφο του 14ου αιώνα με 4 άγνωστα ποιήματα της Παλατινής Ανθολογίας.
Το ένα, και σημαντικότερο από αυτά είχε επικεφαλίδα που δήλωνε ότι επρόκειτο για αριθμητικό πρόβλημα το οποίο πρότεινε με επιστολή του ο Αρχιμήδης στον Ερατοσθένη. Η εξέταση του προβλήματος δείχνει ότι πρόκειται για πρόβλημα απροσδιορίστου αναλύσεως που ζητά την «πληθύν Ηελίοιο βοών», το πλήθος των βόων του (θεού) Ήλιου, γι΄ αυτό στην βιβλιογραφία ονομάστηκε «Βοεϊκό πρόβλημα του Αρχιμήδη».
Το πρόβλημα έχει δύο κύρια μέρη και ζητά να υπολογιστούν οι ταύροι και οι αγελάδες καθενός από τα 4 χρώματα (λευκού, ξανθού και ποικιλόχρωμου) όταν στο πρώτο κύριο μέρος του δίνονται γραμμικές σχέσεις μεταξύ αγνώστων που οδηγούν σε ένα σύστημα 7 εξισώσεων με 8 αγνώστους. Από την μονοπαραμετρική απειρία λύσεων που προκύπτει, το δεύτερο μέρος του προβλήματος ζητά να προσδιοριστεί εκείνη η λύση που ικανοποιεί δύο ακόμη συνθήκες. Η προκύπτουσα απάντηση είναι ασύλληπτα μεγάλος αριθμός, πράγμα το οποίο φαίνεται από τα συμφραζόμενα, ότι το γνώριζε ο συντάκτης του προβλήματος. Επίσης το χειρόγραφο που ανακάλυψε ο Lessing περιλαμβάνει ένα εκτενές σχόλιο με τον ισχυρισμό ότι δίνει την απάντηση (όχι όμως και τη μέθοδο λύσης) στο πρόβλημα. Οι αριθμοί που δίνονται στο σχόλιο ικανοποιούν τις 7 γραμμικές εξισώσεις και προκύπτουν από την τιμή «ν=80» της παραμέτρου, ωστόσο δεν ικανοποιούν τις συνθήκες του δευτέρου μέρους του προβλήματος.
Η λύση του συστήματος που καταστρώνεται από τα επιτάγματα του πρώτου μέρους του προβλήματος απαιτεί κάποια δεξιοτεχνία (δεδομένου ότι στα αρχαία Ελληνικά μαθηματικά o αριθμητικός συμβολισμός ήταν άκαμπτος και o αλγεβρικός συμβολισμός τουλάχιστον πριν από τον Διόφαντο ανεπαρκής), χωρίς όμως να ισχυριστούμε ότι, μέχρι αυτό το στάδιο, το πρόβλημα είναι ιδιαίτερα δύσκολο. Συγκεκριμένα, η απάντηση (βλέπε παρακάτω) βγαίνει να είναι της μορφης:
Λ=10366482ν, Κ=7460514ν, Π=7358060ν, Ξ=4149387ν
λ=7026360ν, κ=4893246ν, π=3515820ν, ξ=5439213ν
όπου Λ,Κ,Π,Ξ το πλήθος των λευκών, κυανών, ποικιλόχρωμων και ξανθών ταύρων αντίστοιχα, ενώ τα λ, κ, π, ξ τα των αγελάδων, και v απροσδιόριστη παράμετρος.
Η έκπληξη εμφανίζεται όταν προσπαθήσει κανείς να ικανοποιήσει τα επιτάγματα του δεύτερου μέρους της εκφώνησης που ζητούν να ισχύει Λ+Κ = τέλειο τετράγωνο και Π+Ξ = τρίγωνος αριθμός. Με αυτά οδηγούμαστε σε μία οπό τις αποκαλούμενες εξισώσεις Pell.
x2 – 410286423278424y2=1
που δεν είναι καθόλου εύκολο να λυθεί!
Η απάντηση, το πλήθος δηλαδή των ταύρων και των αγελάδων του κάθε χρώματος είναι τόσο μεγάλη (πάνω από 200.000 ψηφία η κάθε μία, δηλαδή όσα γράμματα σε ένα μετρίου μεγέθους βιβλίο) που είναι αδύνατον να την προσδιορίσει κανείς χωρίς χρήση ηλεκτρονικού Υπολογιστή. Χρειάστηκε να περιμένουμε 2.000 χρόνια, μέχρι το 1965, όταν οι Williams, German και Zarnke με χρήση 2 υπολογιστών της ΙΒΜ κατέγραψαν την λύση (και αυτή , όχι πλήρη). Το σχετικό τους άρθρο δημοσιεύτηκε το 1965 στο Mathematics of Computations, τόμος 19. O Nelson (βλέπε, J. Relational Mathematics, τόμος 13 του 1980) έλεγξε την ορθότητα της απαντήσεως τους.
Μερικοί φιλόλογοι και ιστορικοί αμφισβητούν την Αρχιμήδεια προέλευση του προβλήματος ή άλλοι πάλι δέχονται ότι το πρόβλημα είναι Αρχιμήδειο αλλά η απόδοσή του σε στίχους είναι μεταγενέστερη, πιθανόν βυζαντινή.
Τα επιχειρήματα υπέρ της Αρχιμήδειας προέλευσης και έμμετρης απόδοσης του Βοεϊκού προβλήματος.
Υπάρχουν εξωτερικές μαρτυρίες, από τον σχολιαστή του Χαρμίδη και τον Κικερώνα για ύπαρξη Βοεϊκού προβλήματος ή για τα Αρχιμήδεια προβλήματα
Ο Αρχιμήδης συνήθιζε να στέλνει προβλήματα και κείμενα σε επιστολές του στους Αλεξανδρινούς μαθηματικούς
Ο φίλος του Ερατοσθένης ήταν παραλήπτης Αρχιμήδειου κειμένου, της Εφόδου
Στον Ερατοσθένη ο Αρχιμήδης έτρεφε μεγάλη εκτίμηση όχι μόνο για τα μαθηματικά του αλλά και για την ευρύτερη παδεία του
Ο Ερατοσθένης ήταν μαθητής του Καλλιμάχου, του μεγαλύτερου ελεγειοποιού της αρχαιότητας και έγραφε ο ίδιος ποίηση σε ενεργειακό μέτρο. Έδωσε μάλιστα ιδιαίτερη προσοχή για «αμώμητο» μέτρο
Ο Αρχιμήδης ήταν γνώστης της Ιωνικής διαλέκτου, λόγω της καλής παιδείας που έτυχε
Στην σύνταξη επιγραμμάτων, συνήθεια που υπήρχε που υπήρχε στην αρχαιότητα, η Ιωνική διάλεκτος της επικής ποίησης και το ελεγειακό μέτρο ήταν φυσιολογικά
Ο Αρχιμήδης είχε ασχοληθεί με μεγάλους αριθμούς στον Ψαμμίτη του
Ο Αρχιμήδης φαίνεται vα είχε κάποια γνώση της εξίσωσης Pell, ενώ δεν φαίνεται να ασχολήθηκε με αυτήν άλλος αρχαίος.
Πηγή: lecturesbureau
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου