Σταθερά των Euler–Mascheroni

Η σταθερά Όιλερ-Mascheroni είναι μια σταθερά που ορίζεται ως το εξής όριο:$$

$\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \left( \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} \right) - \ln n\right)$

Η σταθερά των Όιλερ-Mascheroni εμφανίζεται, στο τρίτο θεώρημα του Merten και έχει σχέση με την συνάρτηση γάμμα, τη συνάρτηση ζήτα και πολλά άλλα ολοκληρώματα και σειρές.

Ο ορισμός της σταθεράς των Euler-Mascheroni παρουσιάζει στενή σχέση μεταξύ των διακριτών και των συνεχών μαθηματικών.

Η αριθμητική τιμή της $\gamma$ είναι περίπου $0,57721$.

Ο υπολογισμός του $γ$ δεν έχει προσελκύσει το ίδιο ενδιαφέρον του κοινού όπως ο υπολογισμός του $π$, αλλά το $γ$ εξακολουθεί να εμπνέει πολλούς ένθερμους οπαδούς.

Ενώ σήμερα γνωρίζουμε το $π$ σε τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία, μόνο μερικές χιλιάδες θέσεις του $γ$ είναι γνωστές. Η εκτίμηση του $γ$ είναι αρκετά πιο δύσκολη από το $π$. 

Εδώ είναι τα πρώτα ψηφία:

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 4024310421 59335 93992 35988 05767 23488 4867726777 66467 09369 47063 29174 67495...

Σήμερα, το $γ$ είναι συχνά γνωστό ως σταθερά Euler-Mascheroni, ωστόσο, χρησιμοποιείται επίσης ο όρος σταθερά του Euler, επειδή στο $1781$, ο Euler συμβόλισε αυτή τη σταθερά με $γ$ και την υπολόγισε σε δεκαέξι ψηφία. 

Κανείς δεν γνωρίζει αν η $γ$ είναι ρητός, αλγεβρικός ή υπερβατικός. Γνωρίζουμε ότι αν η σταθερά $γ$ είναι ρητός αριθμός, ο παρονομαστής της είναι τεράστιος. 

Οι John Conway και Richard Guy γράφουν στο βιβλίο The Book of Numbers: 

"Κανείς δεν έχει αποδείξει ότι το $γ$ δεν μπορεί να είναι ρητός. Είμαστε διατεθειμένοι να στοιχηματίσουμε ότι είναι υπερβατικό, αλλά δεν περιμένουμε να δούμε μια απόδειξη κατά τη διάρκεια της ζωής μας".