Click to Translate Whole Page to Read and Solve

Τετάρτη 3 Ιανουαρίου 2024

Σταθερά των Euler–Mascheroni

Η σταθερά Όιλερ-Mascheroni είναι μια σταθερά που ορίζεται ως το εξής όριο:
γ=limn((k=1n1k)lnn)
Η σταθερά των Όιλερ-Mascheroni εμφανίζεται, στο τρίτο θεώρημα του Merten και έχει σχέση με την συνάρτηση γάμμα, τη συνάρτηση ζήτα και πολλά άλλα ολοκληρώματα και σειρές.
Ο ορισμός της σταθεράς των Euler-Mascheroni παρουσιάζει στενή σχέση μεταξύ των διακριτών και των συνεχών μαθηματικών.
Η αριθμητική τιμή της γ είναι περίπου 0,57721.
Ο υπολογισμός του γ δεν έχει προσελκύσει το ίδιο ενδιαφέρον του κοινού όπως ο υπολογισμός του π, αλλά το γ εξακολουθεί να εμπνέει πολλούς ένθερμους οπαδούς.
Ενώ σήμερα γνωρίζουμε το π σε τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία, μόνο μερικές χιλιάδες θέσεις του γ είναι γνωστές. Η εκτίμηση του γ είναι αρκετά πιο δύσκολη από το π
Εδώ είναι τα πρώτα ψηφία:
0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 4024310421 59335 93992 35988 05767 23488 4867726777 66467 09369 47063 29174 67495...
Σήμερα, το γ είναι συχνά γνωστό ως σταθερά Euler-Mascheroni, ωστόσο, χρησιμοποιείται επίσης ο όρος σταθερά του Euler, επειδή στο 1781, ο Euler συμβόλισε αυτή τη σταθερά με γ και την υπολόγισε σε δεκαέξι ψηφία. 
Κανείς δεν γνωρίζει αν η γ είναι ρητός, αλγεβρικός ή υπερβατικός. Γνωρίζουμε ότι αν η σταθερά γ είναι ρητός αριθμός, ο παρονομαστής της είναι τεράστιος. 
Οι John Conway και Richard Guy γράφουν στο βιβλίο The Book of Numbers
"Κανείς δεν έχει αποδείξει ότι το γ δεν μπορεί να είναι ρητός. Είμαστε διατεθειμένοι να στοιχηματίσουμε ότι είναι υπερβατικό, αλλά δεν περιμένουμε να δούμε μια απόδειξη κατά τη διάρκεια της ζωής μας".