Πυθαγόρειες τριάδες και αριθμοί Φιμπονάτσι

Οι πυθαγόρειες τριάδες

Όταν άρχισε να εφαρμόζει το πυθαγόρειο θεώρημα, εντύπωση του έκανε η τριάδα «3, 4 ,5» ως μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Δοκίμασε και με την τριάδα 2, 3, 4 για να διαπιστώσει εύκολα ότι δεν μπορούσε να είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου. 

Το ίδιο έγινε και με την τριάδα 4, 5, 6. Αναρωτήθηκε «ποιες άλλες τριάδες φυσικών αριθμών θα μπορούσαν να είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου» και η πρώτη βέβαια επιλογή ήταν «όλα τα πολλαπλάσια των «3, 4 ,5» δηλαδή οι τριάδες «6, 8 ,10» «9, 12, 15» «15, 20 ,25» «18, 24, 30» και οι υπόλοιπες. Αναρωτήθηκε εάν υπάρχουν άλλες τριάδες εκτός από αυτές. Σε γλώσσα άλγεβρας τριάδες φυσικών αριθμών α, β, γ, που ικανοποιούν τη σχέση $α^2 + β^2 = γ^2$.

Και τυχαία διέκρινε την τριάδα «12, 5, 13» άρα και τα πολλαπλάσιά της την «24, 10, 26» την «36, 15, 39» και τις υπόλοιπες. Αναρωτήθηκε πώς θα μπορούσε να αναζητήσει τις άλλες τριάδες αλλά δεν το κατάφερνε και το άφησε.

Αναρωτήθηκε στη συνέχεια εάν υπάρχουν τριάδες φυσικών αριθμών που να ικανοποιούν τη σχέση $α^3 + β^3= γ^3$ ή ίσως και την $α^4 + β^4= γ^4$ δεν μπόρεσε να βρει ούτε μία τέτοια τριάδα και κάπου εκεί ρωτώντας κάποιος φοιτητής του μαθηματικού του μίλησε για το τελευταίο θεώρημα του Fermat.

Εξυπακούεται ότι κατά την εποχή της «εφηβικής του Αρχαιότητας» το κομπιουτεράκι ως καθημερινή πρακτική δεν είχε κάνει την εμφάνισή του ούτε το θεώρημα του Fermat είχε αποδειχθεί από τον Andrew Wiles .

Οι φιμπονάτσι

Η ακολουθία Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 . . Καθένας από τους όρους της προκύπτει από το άθροισμα των δύο που προηγούνται. $α_ν = α_{ν-1} + α_{ν-2}$.

Ο Leonardo από την Πίζα – Leonardo Pisano, αποκαλούμενος Fibonacci, γιος του Bonacci, – ο μεγαλύτερος ίσως ευρωπαίος μαθηματικός του Μεσαίωνα, είχε καταλήξει σε αυτή την ακολουθία παρακολουθώντας τις συνήθειες των κουνελιών όταν ζευγαρώνουν. Οι «αριθμοί Fibonacci» εμφανίζονται στη φύση σε ένα σωρό επεισόδια. Πόσα είναι τα πέταλα των λουλουδιών; Αν τα μετρήσουμε θα καταλήξουμε σε αριθμό Fibonacci. Σε κάθε κουκουνάρι υπάρχουν έλικες. Πόσες είναι οι έλικες σε ένα τυχαίο κουκουνάρι; Αν τις μετρήσουμε θα βρούμε κάποιον αριθμό Fibonacci. Η ανάπτυξη των οστράκων

μέσα στον χρόνο βρίσκεται επίσης σε αντιστοιχία με τους

αριθμούς Fibonacci.

Και το πιο παράξενο. Η ακολουθία σχετίζεται με το κατασκεύασμα της ελληνίδας Γεωμετρίας που λέγεται χρυσή τομή.

Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Πηγή: lecturesbureau