Translate Whole Page to Read and Solve

Σάββατο 13 Ιανουαρίου 2024

Έξι ανισότητες για μαθηματικούς διαγωνισμούς

1. Αν a,b, και c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε δείξτε ότι
a3b2+c2+b3c2+a2+c3a2+b2a+b+c2
2. Αν x,y, και z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με xyz=1, τότε δείξτε ότι:
1x3(y+z)+1y3(z+x)+1z3(x+y)32
3. Αν a,b,c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με a+b+c=1, τότε δείξτε ότι:
aa+bc+bb+ca+cc+ab2
4. Αν a, b, c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε δείξτε ότι:
a2+b2a+b+b2+c2b+c+c2+a2c+a3(a2+b2+c2)a+b+c
5. Αν x,y,z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με xyz=1, τότε δείξτε ότι
x(1+y)(1+z)+y(1+z)(1+x)+z(1+x)(1+y)34

6. Για θετικούς πραγματικούς αριθμούς a, b, c, δείξτε ότι:
ab+bc+caa2+b2+c2ab+bc+ca+2