Έξι ανισότητες για μαθηματικούς διαγωνισμούς

1. Αν $a, b$, και $c$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε δείξτε ότι

\[ \frac{a^3}{b^2+c^2} + \frac{b^3}{c^2+a^2} + \frac{c^3}{a^2+b^2} \geq \frac{a+b+c}{2} \]

2. Αν $x, y$, και $z$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $xyz=1$, τότε δείξτε ότι:

\[\frac{1}{x^3(y+z)} + \frac{1}{y^3(z+x)} + \frac{1}{z^3(x+y)} \geq \frac{3}{2}\]

3. Αν $a, b, c$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $a+b+c=1$, τότε δείξτε ότι:

\[ \sqrt{\frac{a}{a+bc}} + \sqrt{\frac{b}{b+ca}} + \sqrt{\frac{c}{c+ab}} \geq 2 \]

4. Αν a, b, c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε δείξτε ότι:

\[ \frac{a^2+b^2}{a+b} + \frac{b^2+c^2}{b+c} + \frac{c^2+a^2}{c+a} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} \]

5. Αν $x, y, z$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $xyz=1$, τότε δείξτε ότι

\[\frac{x}{(1+y)(1+z)} + \frac{y}{(1+z)(1+x)} + \frac{z}{(1+x)(1+y)} \leq \frac{3}{4}\]

6. Για θετικούς πραγματικούς αριθμούς a, b, c, δείξτε ότι:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geq \sqrt {\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}}+2$