Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 460ο

 Toυ Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνεται συνάρτηση $f:R\to R$ με τύπο 

$f(\chi )=e^{\chi }—\chi$. 

Δ1.Να αποδείξετε ότι η ${\rm O}$ στρέφει τα κοίλα προς τα άνω και στη συνέχεια, να βρείτε την εφαπτομένη της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 

Δ2. Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση $\psi =e$ τέμνει τη $Cf$ σε δυο ακριβώς σημεία ${\rm A}(1,f({\chi }_1))$ και ${\rm B}({\chi }_2,f({\chi }_2))$, με ${\chi }_1<0$ και ${\chi }_2>1$. Αν ${\chi }_1,{\chi }_2$ είναι οι τετμημένες που αναφέρονται στο ερώτημα Δ2,να αποδείξετε ότι: 

Δ3.Η εξίσωση 

${\chi }_{2}f(\chi )+{\chi }_1\chi =e^{\chi }$

έχει μία τουλάχιστον ρίζα ${\chi }_0\in (0,1)$.

Δ4. Υπάρχει μοναδικό σημείο ${\rm M}(\xi ,f(\xi ))$, με $\xi \in (1,{\chi }_2)$, στο οποίο η κλίση της $C_f$ ισούται με

 ${\displaystyle \frac{e^{{\chi }_0}}{{\chi }_0({\chi }_2-{\chi }_1)}}$ 

όπου ${\chi }_0$ είναι η ρίζα τον ερωτήματος Δ3.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα