Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 457ο

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνεται συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to R$ με τύπο 

$f(\chi )=({\chi }^2+1)ln\chi$. 

Δ1.α) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\chi >0$ ισχύει: 

$ln\chi \ge \chi -1$.

β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση $\psi =\chi$, τέμνει οποιαδήποτε εφαπτομένη της $C_f$.

Δ2.Αν γνωρίζετε ότι για κάθε $\chi >0$ ισχύει: 

${\chi }^{2}f({\displaystyle \frac{\alpha }{\chi }})+f(\chi )=0$

να αποδείξετε ότι $\alpha =1$.

Δ3. Να λύσετε στο διάστημα $(0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$ την εξίσωση: 

$\sigma \nu {\nu }^2\chi f(\epsilon \phi \chi )+\eta {\mu }^2\chi f(\sigma {\phi }^{2024}\chi )=0$. 

Δ4. Να αποδείξετε ότι 

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα