Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 457ο

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνεται συνάρτηση $f: (0, +\infty) \rightarrow R$ με τύπο 

$f (χ) = (χ^2 + 1)lnχ$. 

Δ1.α) Να αποδείξετε ότι για κάθε $χ > 0$ ισχύει: 

$lnχ \geq χ - 1$.

β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση $ψ = χ$, τέμνει οποιαδήποτε εφαπτομένη της $C_f$.

Δ2.Αν γνωρίζετε ότι για κάθε $χ > 0$ ισχύει: 

$χ^2f(\dfrac{α}{χ})+f(χ)=0$

να αποδείξετε ότι $α = 1$.

Δ3. Να λύσετε στο διάστημα $(0,\dfrac{π}{2})$ την εξίσωση: 

$σνν^2χ f (εφχ) + ημ^2χ f (σφ^{2024}χ) = 0$. 

Δ4. Να αποδείξετε ότι 

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα