Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 47ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Να λυθεί στους πρώτους αριθμούς η εξίσωση

  

ΘΕΜΑ 2ο

Έστω  εγγράψιμο τετράπλευρο με  και  Το σημείο  βρίσκεται στο έλασσον τόξο  του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραπλεύρου. Οι ευθείες  και  τέμνονται στο  ενώ οι ευθείες  και  στο  Να αποδείξετε ότι 

ΘΕΜΑ 3ο

Στην περιφέρεια ενός κύκλου υπάρχουν εξήντα σημεία, τριάντα από τα οποία είναι χρωματισμένα κόκκινα, είκοσι μπλε και δέκα πράσινα. Τα σημεία αυτά διαιρούν τον κύκλο σε εξήντα τόξα. Σε καθένα από αυτά τα τόξα γράφουμε έναν αριθμό, σύμφωνα με τους κανόνες:

Αν το τόξο συνδέει ένα κόκκινο και ένα πράσινο σημείο τότε γράφουμε τον αριθμό 1,

αν το τόξο συνδέει ένα κόκκινο και ένα μπλε σημείο τότε γράφουμε τον αριθμό 2,

αν το τόξο συνδέει ένα μπλε και ένα πράσινο σημείο τότε γράφουμε τον αριθμό 3 και

αν το τόξο συνδέει σημεία ίδιου χρώματος τότε γράφουμε τον αριθμό 0.

Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή του αθροίσματος των αριθμών στα τόξα;

ΘΕΜΑ 4ο

Αν  τέτοιοι ώστε 

, 

να βρεθεί η μέγιστη τιμή του 

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica