Εικασία Singmaster

Το τρίγωνο του Πασκάλ είναι ένα διάσημο μαθηματικό αντικείμενο, το οποίο αναφέρεται και στο βιβλίο των Μαθηματικών της Γ Γυμνασίου.

Αν και ονομάστηκε έτσι προς τιμή του Γάλλου μαθηματικού Μπλεζ Πασκάλ, το είχαν μελετήσει αιώνες πριν στην Ινδία, στην Περσία, στην Κίνα και στην Ιταλία.

Πολλά πράγματα μπορούμε να κάνουμε με το τρίγωνο του Πασκάλ και σε σχολικό επίπεδο, αλλά θα αναφερθώ σε μια εικασία, η οποία το αφορά και είναι γνωστή ως "εικασία του Singmaster".

(Ο γεννημένος σαν σήμερα, 14 Δεκεμβρίου 1938, David Singmaster ήταν Αμερικανός μαθηματικός, ο οποίος εργάστηκε για το μεγαλύτερο μέρος της καριέρας του στο Λονδίνο της Αγγλίας. 

Ήταν κορυφαίος ειδικός στα παζλ και στα ψυχαγωγικά Μαθηματικά, ενώ έγινε διάσημος με τα βιβλία του για τον Κύβο του Ρούμπικ. Πέθανε πριν λίγους μήνες, τον Φεβρουάριο του $2023$).

Η συγκεκριμένη εικασία, την οποία ο Singmaster πρότεινε το $1971$, λέει ότι υπάρχει ένα άνω όριο στις φορές που εμφανίζονται οι αριθμοί στο τρίγωνο του Pascal, εκτός προφανώς από τον αριθμό 1 που εμφανίζεται άπειρες φορές.

Η συγκεκριμένη εικασία απασχόλησε πολλούς μαθηματικούς, όπως τον Paul Erdős, ο οποίος υποψιαζόταν ότι η εικασία ήταν αληθινή, αλλά πίστευε ότι θα ήταν πολύ δύσκολο να αποδειχθεί, όμως και πιο σύγχρονους, όπως τον διάσημο Terence Tao.

Αν δούμε το τρίγωνο του Pascal παρατηρούμε ότι το $2$ εμφανίζεται μόνο μία φορά, ενώ το $3$, το $4$ και το $5$ εμφανίζονται δύο φορές. Όλοι οι περιττοί πρώτοι αριθμοί επίσης εμφανίζονται δύο φορές.

Το $6$ εμφανίζεται τρεις φορές, ενώ τα εμπειρικά στοιχεία δείχνουν πως το μικρότερο άνω όριο είναι το οκτώ. Ο μικρότερος αριθμός που εμφανίζεται οκτώ φορές είναι το $3003$, ενώ δεν έχει ακόμα βρεθεί μεγαλύτερος αριθμός, ο οποίος να εμφανίζεται οκτώ φορές.

Έχει επίσης βρεθεί ότι ο αριθμός

$61218182743304701891431482520$ 

εμφανίζεται έξι φορές.

Πηγή: FB Thanasis Kopadis