Τετάρτη 6 Δεκεμβρίου 2023

Πλανήτης Neokv7

Η χώρα των λιμνών στον πλανήτη Neokv7 έχει σχήμα τετραγώνου. Υπάρχουν εννέα δρόμοι στη χώρα. Κάθε ένας από τους δρόμους 
είναι μια ευθεία γραμμή που διαιρεί τη χώρα σε δύο τραπεζοειδή έτσι ώστε ο λόγος των εμβαδών των τμημάτων αυτών είναι $2:5$.
Αποδείξτε ότι τουλάχιστον τρεις από αυτούς τους δρόμους τέμνονται σε ένα σημείο.
Αναρτήθηκε από στις 6.12.23
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. papadim7 Δεκεμβρίου 2023 στις 12:07 π.μ.

    Δεδομένου ότι η χώρα έχει σχήμα τετραγώνου, τα δύο τραπέζια στα οποία χωρίζεται από κάθε δρόμο είναι ορθά, έχουν ύψη (υ) ίσα με την πλευρά της χώρας και διαμέσους (δ) πάνω σε μία από τις δύο ευθείες ε1 και ε2, που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών της χώρας. Έτσι, δεδομένου ότι Ε=υ*δ, ο λόγος εμβαδών 2/5 είναι και λόγος διαμέσων. Μπορούμε να ορίσουμε τα εντός τετραγώνου τμήματα των διαμέσων πάνω στην ε1 ή την ε2 (2 επιλογές) με το 2 στη μία μεριά και το 5 στην άλλη (2 επιλογές). Επομένως, με 4 δρόμους είναι δυνατό να έχουμε 4 διαφορετικά διαχωριστικά σημεία διαμέσων, με 8 δρόμους είναι δυνατό να σχηματίζονται 4 ζευγάρια δρόμων τεμνόμενων σε διαφορετικά διαχωριστικά σημεία διαμέσων, αλλά με 9 δρόμους, ο 9ος δρόμος θα περάσει υποχρεωτικά από διαχωριστικό σημείο διαμέσων όπου περνάνε και άλλοι 2 δρόμοι, ό.έ.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)