H εξίσωση που παράγει τους πρώτους αριθμούς

Οι φυσικοί αριθμοί (με εξαίρεση τον αριθμό $1$) είναι είτε πρώτοι είτε σύνθετοι.

Πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και τη μονάδα. Τέτοιοι αριθμοί είναι οι: 

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …$.

Οι υπόλοιποι αριθμοί που ονομάζονται σύνθετοι μπορούν να εκφραστούν με έναν και μοναδικό τρόπο, ως γινόμενο πρώτων αριθμών. 

Για παράδειγμα ο αριθμός $30$ γράφεται $12=2\times 3\times 5$.

Κατά συνέπεια οι πρώτοι αριθμοί «γεννούν» όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Άραγε υπάρχει κάποιος μαθηματικός τύπος που να υπολογίζει τους πρώτους αριθμούς;

Για να βρούμε π.χ. τον 5ο κατά σειρά άρτιο αριθμό χρησιμοποιούμε τον τύπο $α_n=2n$ για $n=5$ και παίρνουμε $α_5=10$. Υπάρχει μια τέτοια σχέση (έστω και πολυπλοκότερη) που αν θέλαμε να βρούμε τον πέμπτο κατά σειρά πρώτο αριθμό να θέταμε στη σχέση αυτή την τιμή n=5 και να παίρναμε τον αριθμό $11$ που είναι ο πέμπτος πρώτος αριθμός;

Λοιπόν, ένας τέτοιος τύπος υπάρχει – αλλά επειδή είναι περίπλοκος (;) τον αγνοούμε – και είναι ο εξής:

Για να κατανοηθεί η παραπάνω εξίσωση πρέπει να κατανοήσουμε τη συνάρτηση $F(j)$:

Καταρχήν οι αγκύλες [ ] εκφράζουν το ακέραιο μέρος του αριθμού που βρίσκεται μέσα σ’ αυτές. Για παράδειγμα [0,34]=0 ή [4,23]=4. Βέβαια δεδομένου ότι μέσα στις αγκύλες περιέχεται ένα συνημίτονο υψωμένο στο τετράγωνο, αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι ή $0$ ή $1$.

Αυτή η συνάρτηση γνωρίζει πότε ο αριθμός $j$ είναι πρώτος και πότε όχι. Όταν παίρνει την τιμή $1$, τότε ο αριθμός $j$ είναι πρώτος, όταν παίρνει την τιμή $j=0$ είναι σύνθετος. 

Για παράδειγμα αν θέσουμε $j=3$ – που είναι πρώτος αριθμός – παίρνουμε

$F(3)=[cos2π]=1$

ενώ για $j=4$

$F(4)=[cos27π/4]=0$.

H λειτουργία της παραπάνω συνάρτησης βασίζεται στο θεώρημα Wilson σύμφωνα με το οποίο, η έκφραση $(j-1)!+1$ διαιρείται ακριβώς με το $j$, μόνο όταν ο αριθμός $j$ είναι πρώτος.

Τώρα λοιπόν μπορούμε να κατανοήσουμε την εξίσωση που υπολογίζει τον n-στο πρώτο αριθμό

Μόνο που είναι αρκετά δύσχρηστη. 

Για παράδειγμα αν αναζητούμε τον $121$ κατά σειρά πρώτο αριθμό τότε το παραγοντικό

$(j-1)! = 120!$ είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός:

mathworld.wolfram.com – Calvin C. Clawson, «Μαθηματικά Μυστήρια»