Του Ηλία Ζωβοΐλη
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$,για την οποία ισχύουν:
- $(χ-1) f^2(χ)+f(χ)+f' (χ) = 0$,$χ \in R$
- $f (R) = (0,1]$
Δ1.Να αποδείξετε ότι
$f (0) = 1$.
Δ2.Να αποδείξετε ότι:
α) υπάρχει $c\in R$ τέτοιο, ώστε για κάθε $χ \in R$ να ισχύει:
$χ + \dfrac{1}{f(χ)} = ce^χ$
β) $f(χ)=\dfrac{1}{e^χ - χ}$, $χ \in R$
Έστω $F$ μία αρχική συνάρτηση της $f$ στο $R$, με $F(0) = 0$.
Δ3.Να λύσετε στο $R$ την εξίσωση:
$F (χ)ημ^2 χ = χ$.
Δ4. Να αποδείξετε ότι
$\int_0^1 e^χ F(ημχ) dx <1$.
Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου