Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 448ο

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\to R$,για την οποία ισχύουν:

• $(\chi -1)f^2(\chi )+f(\chi )+f^{\prime }(\chi )=0$,$\chi \in R$ 
• $f(R)=(0,1]$

Δ1.Να αποδείξετε ότι 

$f(0)=1$.

Δ2.Να αποδείξετε ότι:

α) υπάρχει $c\in R$ τέτοιο, ώστε για κάθε $\chi \in R$ να ισχύει: 

$\chi +{\displaystyle \frac{1}{f(\chi )}}=c{e}^{\chi }$

β) $f(\chi )={\displaystyle \frac{1}{e^{\chi }-\chi }}$, $\chi \in R$

Έστω $F$ μία αρχική συνάρτηση της $f$ στο $R$, με $F(0)=0$.

Δ3.Να λύσετε στο $R$ την εξίσωση: 

$F(\chi )\eta {\mu }^2\chi =\chi$.

Δ4. Να αποδείξετε ότι 

 ${\int }_0^1{e}^{\chi }F(\eta \mu \chi )dx<1$. 

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα