Μια απροσδόκητη εμφάνιση του αριθμού e=2,718…

Καταρχήν χρειαζόμαστε μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών μεταξύ 0 και 1.

Γι αυτό πηγαίνουμε στον ιστότοπο:

wolframalpha.com και εισάγουμε την εντολή RandomReal[{0,1}]

Πατώντας το ίσον δημιουργείται ένας τυχαίος αριθμός στο διάστημα μεταξύ 0 και 1. Με τον ίδιο τρόπο δημιουργούμε και έναν δεύτερο τυχαίο αριθμό στο ίδιο διάστημα.

Εξετάζουμε το άθροισμα των δυο τυχαίων αριθμών. Αν είναι μικρότερο του $1$ δημιουργούμε άλλον έναν και τον προσθέτουμε στο προηγούμενο άθροισμα ελέγχοντας αν το άθροισμα να ξεπερνά το $1$ κ.ο.κ.

Το ερώτημα που τίθεται είναι: πόσοι τυχαίοι αριθμοί στο διάστημα $0$ έως $1$ χρειάζονται κατά μέσο όρο, ώστε το άθροισμά τους να ξεπεράσει το $1$;

Η απάντηση:

είναι ο αριθμός $2,71828\dots .$ , η βάση των φυσικών ή νεπέριων λογαρίθμων ή αλλιώς ο αριθμός του Euler!

Εκτελώντας το «πείραμα» μόνο $19$ φορές βρήκαμε ότι το πλήθος των τυχαίων αριθμών που απαιτείται ώστε το άθροισμά τους να είναι μεγαλύτερο του $1$ ήταν κάθε φορά:

2, 3, 3, 2, 2, 4, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 3, 2

Κατά μέσο όρο δηλαδή $51/19=2,684\dots .$ που είναι αρκετά κοντά στον αριθμό $e$.

Η παραπάνω πρόταση αποδεικνύεται αναλυτικά ή είναι εικασία;

Πηγή: physicsgg.me