Η Ιστορία της Άλγεβρας

Al-jabr, al-Khwârizmi

Η λέξη ΑΛΓΕΒΡΑ προέρχεται από τη λατινική Algebra η οποία με τη σειρά της προέρχεται από την αραβική λέξη al-jabr. 

Η αραβική λέξη πρωτοεμφανίζεται στο – γραμμένο γύρω στα 825- έργο του μεγάλου άραβα μαθηματικού al-Khwârizmi και η λέξη al-jabr ήταν για πολλά χρόνια συνώνυμο του «επιστήμη των εξισώσεων».Το βιβλίο του al-Khwarizmi δεν χρησιμοποιεί τον σύγχρονο αλγεβρικό συμβολισμό ούτε και εξισώσεις. Το οτιδήποτε είναι γραμμένο με λέξεις. Διαπραγματεύεται κυρίως εξισώσεις. Μελετά έξι διαφορετικούς τύπους εξισώσεων. Ωστόσο δεν ασχολείται με ΑΡΝΗΤΙΚΟΥΣ αριθμούς. Στη δευτεροβάθμια λόγου χάρη εξίσωση οι αρνητικές ρίζες αγνοούνται. Αναφέρεται επίσης σε τετραγωνικές και κυβικές ρίζες, σε κλάσματα και στη μέθοδο των τριών.

Ο Ευκλείδης και η εξίσωση δευτέρου βαθμού

Το Βιβλίο 2 των Στοιχείων του Ευκλείδη ασχολείται με δευτεροβάθμιες αλγεβρικές εξισώσεις. Ο αλγεβρικός συμβολισμός δεν έχει επινοηθεί και ο Ευκλείδης αναπαριστά τους αριθμούς με ευθύγραμμα τμήματα .

Οι αλγεβρικές ταυτότητες παρουσιάζονται με μορφή γεωμετρική. Οι πρωτοβάθμιες – γραμμικές – εξισώσεις λύνονται με γεωμετρικές κατασκευές. Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ανάγονταν σε γεωμετρικό ισοδύναμο μιας από τις μορφές η οποία στη συνέχεια λυνόταν με την εφαρμογή των ήδη θεμελιωμένων θεωρημάτων εμβαδού.

Αν και η μέθοδος δεν ήταν πολύ διαφορετική από εκείνη των Βαβυλωνίων, η «ελληνική» αυτή μέθοδος μπορούσε να οδηγήσει σε άρρητους αριθμούς. Η δευτεροβάθμια εξίσωση θεμελιώθηκε για τη λύση προβλημάτων και ειδικά εκείνων που εμπεριέχουν το πυθαγόρειο θεώρημα.

Ο Διόφαντος

Αρκετούς αιώνες αργότερα στην Αλεξάνδρεια του 3ου μετά τον Χριστό αιώνα ο Διόφαντος με το βιβλίο του Αριθμητικά παρουσίασε μια όχι γεωμετρική Άλγεβρα στην οποία εντυπωσιάζει η απουσία γενικών μεθόδων και η επινόηση έξυπνων τεχνασμάτων για τη λύση 130 προβλημάτων. Το άλλο στοιχείο που χαρακτηρίζει το έργο του είναι τα πρώτα βήματα προς τον αλγεβρικό συμβολισμό. Δεν χρησιμοποιεί βέβαια γράμματα, χρησιμοποιεί όμως συντομογραφίες ενώ μέχρι την εποχή εκείνη η Άλγεβρα ήταν μόνο ρητορική. Το έργο του το ανακάλυψαν οι Ευρωπαίοι 1200 χρόνια μετά.

Οι Κινέζοι και τα 9 κεφάλαια της Μαθηματικής Τέχνης

Τα «9 κεφάλαια της Μαθηματικής Τέχνης» ήταν μία καταγραφή των εξελίξεων στα πρώιμα κινεζικά μαθηματικά. Ο κύριος όμως στόχος τους είναι η παρουσίαση γνώσεων αστρονομίας και όχι ειδικά τα μαθηματικά. Πάντως παρουσιάζονται συστήματα πρωτοβάθμιων εξισώσεων στο κεφάλαιο 8. Η μέθοδος λέγεται «fang cheng » και οδηγεί στη λύση γραμμικών εξισώσεων. Η πρόσθεση και η αφαίρεση η οποία συμπεριλαμβάνει και αρνητικούς αριθμούς μνημονεύεται στο ίδιο αυτό βιβλίο στο οποίο γίνεται λόγος και για την «εξαγωγή» της τετραγωνικής και της κυβικής ρίζας με μέθοδο η οποία θυμίζει τη σύγχρονη.

Η Άλγεβρα στην Αναγέννηση

Οι Ιταλοί τον 14ο και 15ο αιώνα

Οι Ιταλοί δίδασκαν τους εμπόρους τις ινδοαραβικές τεχνικές για τη λύση προβλημάτων, και – αναπτύσσοντας και προεκτείνοντας τις ισλαμικές μεθόδους – έγραφαν κείμενα τα οποία δημιούργησαν τη βάση για παραπέρα ανάπτυξη. Οι Ιταλοί εισήγαγαν τον ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟ ο οποίος δεν υπήρχε στην ισλαμική Άλγεβρα. Ωστόσο τα πράγματα άλλαζαν πολύ αργά και ο σύγχρονος αλγεβρικός συμβολισμός δεν καθιερώθηκε παρά μόνο κατά τον 17ο αιώνα .

Οι Ιταλοί ανέπτυξαν επίσης τη μελέτη της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, ενώ αναζητούσαν και τεχνικές για τη λύση τρίτου και τετάρτου βαθμού . Ο Maestro Dardi da Pisa εργάστηκε στις εξισώσεις τετάρτου βαθμού τις περισσότερες από τις οποίες τις ανήγαγε σε εξισώσεις δευτέρου βαθμού. O Piero della Francesca επιδόθηκε στη λύση εξισώσεων πέμπτου και έκτου βαθμού

16ος αιώνας: Άγγλοι, Γάλλοι και κυρίως Γερμανοί

Ο Nicolas Chuquet στη Γαλλία και ο Christoff Rudolff στη Γερμανία ανέπτυξαν συστήματα εκθετικού συμβολισμού. Ο Rudolff επισημαίνει ότι ο πολλαπλασιασμός των δυνάμεων αντιστοιχεί στην πρόσθεση των εκθετών. Ο Rudolff ήταν και ο πρώτος που θα εισάγει το σύμβολο για την τετραγωνική ρίζα. Στο βιβλίο του Die Coss , το 1526, ασχολείται με τη λύση αλγεβρικών εξισώσεων. Ερευνά τη λύση εξισώσεων τρίτου και μεγαλύτερου βαθμού αλλά τα καταφέρνει μόνο για εξισώσεις που μπορούν και ανάγονται σε δευτεροβάθμιες. Για τη λύση της δευτεροβάθμιας χρησιμοποιεί μια γενική μέθοδο που μοιάζει με τη σύγχρονη αλλά αδιαφορεί για τις ρίζες που είναι αρνητικοί αριθμοί ή μηδέν. Στην Αγγλία παρουσιάζεται η εργασία του Robert Recorde ο οποίος έχει επηρεαστεί από τους Γερμανούς. Στο σημαντικότερο έργο του κάνει για πρώτη φορά την εμφάνισή του το σύμβολο «ίσον» για την ισότητα δύο αλγεβρικών ποσοτήτων.

Η λύση της τριτοβάθμιας: υπόθεση των Ιταλών

Η ιταλική μαθηματική παράδοση «αντέχει» και διεισδύει ακόμα και στον 16ο αιώνα. Η γενική λύση της εξίσωσης τρίτου βαθμού δεν είχε ακόμα επιτευχθεί και ήταν πολλοί οι μαθηματικοί που εργάζονταν προς αυτό τον στόχο. Ο Ιταλός Scipione del Ferro είχε στο μεταξύ ανακαλύψει μια μέθοδο για τη λύση της $x^3 + cx = d$ την οποία όμως δεν ανακοίνωσε αλλά λίγο πριν πεθάνει την εμπιστεύτηκε στον μαθητή του Antonio Maria Fiore και στον διάδοχό του Annibale della Nave. Λίγο αργότερα ο Niccolo Tartaglia από τη Brescia βρήκε τη λύση της εξίσωσης $x^3 + bx^2 = d$ αλλά στη λογική της εποχής του δεν την αποκάλυπτε. Ο σχεδόν συνομίληκός του Gerolamo Cardano τον πίεσε να την αποκαλύψει και ο Tartaglia πείστηκε υπό τον όρο να μην δημοσιευτεί ποτέ και από κανέναν. Λίγα χρόνια μετά το έτος δηλαδή 1545 με το πρόσχημα ότι ο Scipione del Ferro ήταν ο πρώτος που έλυσε την τριτοβάθμια ο Cardano παρουσίασε το έργο του Ars Magna στο οποίο δημοσίευσε όλες τις λύσεις. Ο Tartaglia διαμαρτυρήθηκε έντονα αλλά η φόρμουλα της τριτοβάθμιας εξίσωσης ονομάζεται άδικα «φόρμουλα του Cardano».

Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Πηγή: lecturesbureau