Φανταστικός κόσμος με λίγους αριθμούς!

Σκεφτείτε έναν κόσμο όπου οι μόνοι αριθμοί είναι τα υπόλοιπα κατά τη διαίρεση με το $12$. Τα υπόλοιπα αυτά είναι:

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$

Η πρόσθεση σε αυτόν τον κόσμο είναι δύσκολη επειδή υπάρχουν μόνο δώδεκα αριθμοί.

Αλλά μη φοβάστε, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την όψη ενός ρολογιού για να οπτικοποιήσουμε την πρόσθεση εδώ.

Παρατηρήστε ότι αν ξεκινήσουμε από το $1$ και συνεχίσουμε να προσθέτουμε το $1$, τελικά θα δημιουργήσουμε όλους τους αριθμούς της λίστας μας: 

$1, +1 = 2, +1 = 3, +1 = 4, +1 =5, +1 = 6, +1 = $

$=7, +1 = 8, +1 = 9, +1 = 10, +1 = 11, +1 = 0$

και στη συνέχεια συνεχίζοντας να προσθέτουμε το $1$, απλά ανακυκλώνουμε ξανά αυτούς τους αριθμούς.

Εξαιτίας αυτού, ο αριθμός $1$ καλείται "γεννήτρια", αφού γεννάει δημιουργεί όλους τους αριθμούς της λίστας μας προσθέτοντας με αυτόν τον τρόπο. 

Δυστυχώς, δεν είναι όλοι οι αριθμοί της λίστας μας γεννήτριες! 

Για παράδειγμα, αν ξεκινήσουμε από το $1$ και συνεχίσουμε να προσθέτουμε το $2$, θα έχουμε την ακόλουθη λίστα:

$1, +2 = 3, +2 = 5, +2 = 7, +2 = 9, +2 = 11$, 

και συνεχίζοντας να προσθέτουμε $2$ απλά ανακυκλώνει ξανά αυτούς τους αριθμούς. 

Αυτή δεν είναι η αρχική μας λίστα.

Άρα το $2$ δεν είναι γεννήτρια του πλήρους συνόλου.

Μπορείτε να βρείτε όλες τις άλλες γεννήτριες της λίστας: 

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$ ?