Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 451ο

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνεται συνάρτηση $f:\to (0,+oo)R$ με τύπο 

$f(\chi )={\chi }^2—2ln\chi$. 

${\Delta }_1$.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο $(0,+oo)$ και στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της.

${\Delta }_2$.α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση $\psi =2$ ,τέμνει τη $C_f$ σε δύο ακριβώς σημεία ${\rm A}(\chi ,f({\chi }_1)$ και Β(χ2,f (χ2)), με ${\chi }_1<1<x_2$.

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \in ({\chi }_1,{\chi }_2)$ τέτοιο, ώστε η κλίση της εφαπτομένης της $C_f$, στο σημείο της ${\rm M}(\xi ,f(\xi ))$, να είναι μικρότερη κατά $2$ από την τεταγμένη τον σημείου ${\rm M}$. 

Στα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι τα $\xi ,{\chi }_1,{\chi }_2$ είναι αυτά που αναφέρονται στο ερώτημα ${\Delta }_2$.

${\Delta }_3$.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$f^{\prime }(\chi )+f(\chi )=f(\xi )$

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $({\chi }_1,{\chi }_2)$.

${\Delta }_4$.Να αποδείξετε ότι 

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα