Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 451ο

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνεται συνάρτηση $f: \rightarrow (0, +οο) R$ με τύπο 

$f (χ) = χ^2 — 2lnχ$. 

$Δ_1$.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο $(0, +οο)$ και στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της.

$Δ_2$.α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση $ψ = 2$ ,τέμνει τη $C_f$ σε δύο ακριβώς σημεία $Α(χ,f(χ_1)$ και Β(χ2,f (χ2)), με $χ_1 < 1 <x_2$.

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει $ξ \in (χ_1, χ_2)$ τέτοιο, ώστε η κλίση της εφαπτομένης της $C_f$, στο σημείο της $Μ(ξ, f (ξ))$, να είναι μικρότερη κατά $2$ από την τεταγμένη τον σημείου $Μ$. 

Στα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι τα $ξ, χ_1, χ_2$ είναι αυτά που αναφέρονται στο ερώτημα $Δ_2$.

$Δ_3$.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$f ' (χ) + f (χ) =f (ξ)$

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(χ_1, χ_2)$.

$Δ_4$.Να αποδείξετε ότι 

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα