Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 446ο

 Του Παύλου Τρύφωνος  

Δίνεται η συνάρτηση $f:R\to R$ με τύπο: 

$f(\chi )={\displaystyle \frac{{\chi }^3}{3}}+\alpha {\chi }^2+\chi +1$, $\alpha \in R$ 

για την οποία γνωρίζουμε ότι δεν έχει κρίσιμα σημεία.

α) Να αποδείξετε ότι $\alpha \in (-1,1)$.

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή τον $\alpha$, η γραφική παράσταση της $f$ έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής, το οποίο βρίσκεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης: 

$g(\chi )=-{\displaystyle \frac{2{\chi }^3}{3}}+\chi +1$, $\chi \in (-1,1)$.  

γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή τον αριθμού $\alpha$, για την οποία ισχύει: 

$f(\chi )>g(\chi )$ 

για κάθε $\chi \in (0,1)$.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα