Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 445ο

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:R\to R$ με τύπους 

$f(\chi )={\chi }^2+3\chi -2e^{\chi }$ και $g(\chi )={\chi }^2+\chi -3$.

Δ1.Να αποδείξετε ότι για κάθε $\chi \in R$ ισχύει: 

$f^{\prime }(\chi )<1$.

Δ2.Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της $C_f$ που έχει το μεγαλύτερο συντελεστή διεύθυνσης, διαπερνά τη $C_f$. 

Δ3.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(\chi )=g(\chi )$ (1) έχει ακριβώς δύο ρίζες ${\chi }_1,{\chi }_2$ με ${\chi }_1<0<{\chi }_2$, οι οποίες είναι και οι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης $f$. 

Στο παρακάτω ερώτημα να θεωρήσετε ότι ${\chi }_1,{\chi }_2$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1).

Δ4. Αν ${\rm E}$ είναι το εμβαδόν τον χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $g$,να αποδείξετε ότι:

α) ${\rm E}=({\chi }_2-{\chi }_1).({\chi }_1+{\chi }_2+1)$

β) $f({\rm E}+{\chi }_1)<{\chi }_2-2$ (δύσκολο)

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα