Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 445ο

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:R \rightarrow R$ με τύπους 

$f (χ) = χ^2 + 3χ - 2e^χ$ και $g(χ)=χ^2+χ-3$.

Δ1.Να αποδείξετε ότι για κάθε $χ\in  R$ ισχύει: 

$f' (χ) < 1$.

Δ2.Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της $C_f$ που έχει το μεγαλύτερο συντελεστή διεύθυνσης, διαπερνά τη $C_f$. 

Δ3.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f (χ) = g (χ)$ (1) έχει ακριβώς δύο ρίζες $χ_1, χ_2$ με $χ_1 < 0 < χ_2$, οι οποίες είναι και οι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης $f$. 

Στο παρακάτω ερώτημα να θεωρήσετε ότι $χ_1, χ_2$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1).

Δ4. Αν $Ε$ είναι το εμβαδόν τον χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $g$,να αποδείξετε ότι:

α) $Ε= (χ_2 - χ_1).(χ_1 +χ_2 +1)$

β) $f(Ε+χ_1)<χ_2 -2$ (δύσκολο)

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα