Το «πρόβλημα 3n+1», ή εικασία του Collatz λύθηκε μετά από 86 χρόνια

Διατυπώθηκε από τον Lothar Collatz το $1937$ και τώρα ο μαθηματικός Gerhard Opferτου Πανεπιστημίου του Αμβούργου – που υπήρξε μαθητής του Collatz – ισχυρίζεται ότι έχει αποδείξει την εικασία.

Το «πρόβλημα $3n+1$» είναι το εξής: 

Έστω ένας οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός $n$. Αν ο $n$ είναι άρτιος τον διαιρούμε με $2$. Εάν ο $n$ είναι περιττός τον πολλαπλασιάζουμε επί $3$ και προσθέτουμε το $1$ για να προκύψει ο $(3n +1)$.

Στη συνέχεια αν ο αριθμός που προκύπτει είναι άρτιος τον διαιρούμε με το $2$, αν είναι περιττός τον πολλαπλασιάζουμε πάλι επί $3$ και προσθέτουμε την μονάδα κ.ο.κ.

Για παράδειγμα: έστω $n=3$. Επειδή είναι περιττός τον πολλαπλασιάζουμε επί $3$ και προσθέτουμε τη μονάδα, οπότε προκύπτει ο αριθμός $10$.

Ο 10 είναι άρτιος συνεπώς τον διαιρούμε δια $2$ και προκύπτει ο περιττός $5$. Συνεχίζοντας, 

$(3\times 5 +1) = 16$ 

και 

$16:2=8, 8:2=4, 4:2=2, 2:2=1$.

Σύμφωνα με την εικασία του Collatz ανεξάρτητα από τον αριθμό που θα ξεκινήσουμε στο τέλος καταλήγουμε πάντα στον αριθμό $1$.

Αυτό έχει επαληθευτεί αριθμητικά για τους αριθμούς μέχρι και τον $5$,$76 \times 1018$ (περίπου $6$ δισεκατομμύρια δισεκατομμύρια), αλλά χωρίς αναλυτική μαθηματική απόδειξη. Και υπάρχει πάντα η πιθανότητα ένας απίστευτα μεγάλος αριθμός να παραβιάσει την εικασία Collatz.

Ο Opfer ισχυρίζεται ότι πραγματοποίησε την απόδειξη, η οποία προ-δημοσιεύεται ΕΔΩ, αλλά δεν έχει ακόμα αξιολογηθεί επίσημα….

Πηγή: newscientist