Προκριματικός διαγωνισμός 2018 | Θέματα μεγάλων τάξεων - ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4ο

Θεωρούμε έναν πρώτο αριθμό $p\ge 2$. O Άγγελος και ο Βαγγέλης παίζουν εναλλάξ το ακόλουθο παιχνίδι: Στον πίνακα υπάρχουν $p$ άδεια κουτάκια στη σειρά, το ένα δίπλα στο άλλο, και σε κάθε κίνηση, ο παίκτης που έχει σειρά, βάζει σε ένα από τα κουτάκια ένα ψηφίο.

Ο Άγγελος παίζει πρώτος και το παιχνίδι τελειώνει όταν γεμίσουν όλα τα κουτάκια και έτσι προκύπτει ένας $p$- ψήφιος αριθμός ${\rm M}$ (ο οποίος επιτρέπουμε να έχει και μηδενικά στην αρχή).

Σκοπός του Άγγελου είναι ο αριθμός ${\rm M}$ να διαιρείται με το $p$, ενώ σκοπός του Βαγγέλη είναι να το αποτρέψει. 

Να αποδείξετε ότι ο Άγγελος έχει στρατηγική νίκης.