Γιατί το το συν1° είναι άρρητος αριθμός;

Μια πολύ γρήγορη απόδειξη.

Eφόσον 

$\sigma \upsilon \nu (N^o+1^o)+\sigma \upsilon \nu (N^o–1^o)=2\sigma \upsilon \nu (1^o)\sigma \upsilon \nu (N^o)$ 

για ${\rm N}=1$ προκύπτει ότι:

$\sigma \upsilon \nu (2^o)=2\sigma \upsilon \nu 2(1^o)–1$. 

Αν υποθέσουμε ότι το συν(1o) είναι ρητός αριθμός, τότε αποδεικνύεται επαγωγικά ότι όλα τα συν(No) για ${\rm N}\ge 1$ θα είναι ρητοί αριθμοί. Επομένως και το $\sigma \upsilon \nu ({30}^o)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ θα έπρεπε να είναι ρητός αριθμός, κάτι που προφανώς είναι άτοπο!

Πηγή: twitter