EisatoponAI: Γιατί το το συν1° είναι άρρητος αριθμός;

Μια πολύ γρήγορη απόδειξη.

Eφόσον

$συν(N^o+1^o) + συν(N^o–1^o)=2συν(1^o)συν(N^o)$

για $Ν=1$ προκύπτει ότι:

$συν(2^o)=2συν2(1^o)–1$.

Αν υποθέσουμε ότι το συν(1o) είναι ρητός αριθμός, τότε αποδεικνύεται επαγωγικά ότι όλα τα συν(No) για $Ν≥1$ θα είναι ρητοί αριθμοί. Επομένως και το $συν(30^o)=\dfrac{ \sqrt{3} }{2}$ θα έπρεπε να είναι ρητός αριθμός, κάτι που προφανώς είναι άτοπο!