$1 = \dfrac{1}{2} = 0$

Το $1703$ ο Γκουίντο Γκράντι αιφνιδίασε τον κόσμο των μαθηματικών. Αλλά πριν φτάσουμε σε αυτή την έκπληξη, ας κάνουμε ένα πείραμα.

Απλώστε το χέρι σας και αγγίξτε ό,τι βρίσκεται μπροστά σας. Συγχαρητήρια. Μόλις δείξατε ότι είναι δυνατόν να προσθέσετε μια άπειρη ακολουθία αριθμών και να καταλήξετε σε κάτι πεπερασμένο. Το χέρι σας ταξίδεψε μέχρι τη μέση, μετά πάλι μέχρι τη μέση, μετά πάλι μέχρι τη μέση - ένας άπειρος αριθμός μισών διαδρομών. Με άλλο τρόπο, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}...$ απλώνεται στο άπειρο και ισούται με ένα.

Έτσι, η πρόσθεση μιας άπειρης ακολουθίας αριθμών δεν είναι μαγική. Αλλά αν δεν είμαστε προσεκτικοί, μπορεί να συμβούν παράξενα πράγματα. Ο Guido Grandi εξέτασε αυτό το πολύ, πολύ απλό άθροισμα: $1$ μείον $1$ συν $1$ μείον $1$ και ούτω καθεξής για πάντα. Στη συνέχεια ρώτησε σε τι αθροίζεται αυτό.

$1-1+1-1+1-1...$

Παίρνοντας τους αριθμούς με τη σειρά δείχνει ότι δεν αθροίζουν τίποτα. Το $1$ μείον $1$ είναι $0$, το συν $1$ είναι $1$, το μείον $1$ είναι $0$ και ούτω καθεξής. Το άθροισμα πηγαινοέρχεται μεταξύ 1 και 0.

Αλλά ας υποθέσουμε ότι κάναμε την πρόσθεση λίγο διαφορετικά. Ας ξεκινήσουμε προσθέτοντας τους δύο πρώτους όρους$- 1$ μείον $1$ - αυτό είναι 0. Τώρα ας προσθέσουμε τον τρίτο και τον τέταρτο όρο - και πάλι, αυτό είναι $1$ μείον $1$, ή $0$. Με την αντιστοίχιση των όρων με αυτόν τον τρόπο, όλα γίνονται μηδέν. Και όταν προσθέτουμε ένα σωρό $0$ - ακόμα και άπειρα - παίρνουμε 0. Μόλις δείξαμε ότι το άπειρο άθροισμα είναι στην πραγματικότητα $0$.

Το πρόβλημα είναι ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα παρόμοιο επιχείρημα για να δείξουμε ότι το άπειρο άθροισμα είναι 1. Και με λίγη ακόμα δουλειά μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι είναι $\dfrac{1}{2}$. Σωστά $-\dfrac{1}{2}$. Η αλγεβρική μας διαίσθηση μας οδηγεί σε λάθος δρόμο.

Ο Grandi ήταν ένας καταξιωμένος μαθηματικός, αλλά ήταν επίσης Ιησουίτης. Όταν απέδειξε ότι το άθροισμα ήταν και $04 και $\dfrac{1}{2}$, διακήρυξε ότι αυτό έδειχνε ότι ο Θεός μπορούσε να δημιουργήσει κάτι από το τίποτα. Οι μαθηματικοί της εποχής δεν ήταν τόσο συγκινημένοι, αλλά το έργο του Grandi λειτούργησε ως καταλύτης για να ανακαλύψουν τι συνέβαινε. Τα άπειρα αθροίσματα είχαν αρχίσει να εμφανίζονται παντού την εποχή του Γκράντι και αποτελούσαν απειλή για τον τακτοποιημένο κόσμο των μαθηματικών.

Τελικά, η λύση δεν ήταν υπερβολικά περίπλοκη. Μιλώντας χαλαρά, όταν μια άπειρη ακολουθία αριθμών προσθέτει κάτι πεπερασμένο, συνήθως δεν αντιμετωπίζουμε προβλήματα. Όταν δεν αθροίζεται, όπως το άλμα από το $1$ στο $0$ ή το σύνολο που τρέχει στο άπειρο, τα φαινομενικά σωστά επιχειρήματα δεν είναι. Ένα πολύ διάσημο άθροισμα είναι το $1$ συν $2$ συν $3$ συν $4$ που συνεχίζεται για πάντα. Το άθροισμα ξεκάθαρα καταλήγει στο άπειρο. Όμως με λίγη άλγεβρα γυμνασίου μπορούμε να δείξουμε ότι ισούται με $-\dfrac{1}{12}$.

Σε ένα επίπεδο, το να ξεχωρίζουμε τα ύπουλα ζιζάνια είναι απλά καλά μαθηματικά. Αλλά σε ένα άλλο επίπεδο, όταν οι πιο βασικοί κανόνες της αριθμητικής αποτυγχάνουν, αυτό είναι βαθιά ανησυχητικό. Όπως οι συναλλαγές μας με το άπειρο μας κάνουν συνεχώς να συνειδητοποιούμε, είναι δύσκολο να προσπαθούμε να κοιτάξουμε πάνω από μια άκρη που δεν υπάρχει.

H μετάφραση έγινε από το Google Translate.

Διαβάστε το κείμενο στα αγγλικά ή ακούστε το εδώ.