Oλίσθηση σε κεκλιμένα επίπεδα και ο νόμος του Snell

Η σημειακή χάντρα του παραπάνω σχήματος ολισθαίνει χωρίς τριβές κατά μήκος των ευθύγραμμων οδηγών $ΑΒ$ και $ΒC$.

1. Aν $U_A$, $U_B$ και $U_C$ είναι οι ταχύτητες που έχει η χάντρα στα σημεία $A, Β$ και $C$. Να δείξετε ότι η μέση ταχύτητα για την διαδρομή $ΑΒ$ είναι: 

 

και για την διαδρομή $ΒC$:

 

2. Θεωρούμε τα σημεία $Α$ και $C$ σταθερά, καθώς επίσης και την τεταγμένη $y_B$ του σημείου Β, ενώ η τετμημένη $α$ του σημείου $Β$ μπορεί να μεταβάλλεται. Η χάντρα διανύει τις διάφορες διαδρομές Α→Β(α)→C με την ίδια αρχική ταχύτητα $u_A$. 

Να δείξετε ότι η διαδρομή στην οποία η χάντρα κάνει τον ελάχιστο χρόνο να πάει από το $Α$ στο $C$, ικανοποιεί την εξίσωση του «μηχανικού νόμου Snell» :

 

όπου $θ_1$ και $θ_2$, οι γωνίες «πρόσπτωσης» και «διάθλασης», αντίστοιχα.

Υπόδειξη:

1. η απάντηση προκύπτει εύκολα εφαρμόζοντας το θεώρημα της μέσης ταχύτητας ή θεώρημα Merton (βλέπε πράσινο ένθετο του κεφαλαίου 1.1 στο βιβλίο της Α’ Λυκείου ΕΔΩ)

2. . 

Εκφράζουμε τις (υποτείνουσες ορθογωνίων τριγώνων) $ΑΒ$ και $BC$ συναρτήσει της μεταβλητής α (οι μέσες ταχύτητες δεν εξαρτώνται από την μεταβλητή α), και απαιτούμε η συνάρτηση να έχει ελάχιστο:

  . 

H απόδειξη είναι παρόμοια με την απόδειξη του νόμου διάθλασης του Snell εφαρμόζοντας την αρχή του Fermat.

Περισσότερα θα βρείτε εδώ: «Mechanical Snell’s Law, arxiv.org/pdf/

Πηγή: physicsgg.me