Oλίσθηση σε κεκλιμένα επίπεδα και ο νόμος του Snell

Η σημειακή χάντρα του παραπάνω σχήματος ολισθαίνει χωρίς τριβές κατά μήκος των ευθύγραμμων οδηγών ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm B}C$.

1. Aν $U_A$, $U_B$ και $U_C$ είναι οι ταχύτητες που έχει η χάντρα στα σημεία $A,{\rm B}$ και $C$. Να δείξετε ότι η μέση ταχύτητα για την διαδρομή ${\rm A}{\rm B}$ είναι: 

 

και για την διαδρομή ${\rm B}C$:

 

2. Θεωρούμε τα σημεία ${\rm A}$ και $C$ σταθερά, καθώς επίσης και την τεταγμένη $y_B$ του σημείου Β, ενώ η τετμημένη $\alpha$ του σημείου ${\rm B}$ μπορεί να μεταβάλλεται. Η χάντρα διανύει τις διάφορες διαδρομές Α→Β(α)→C με την ίδια αρχική ταχύτητα $u_A$. 

Να δείξετε ότι η διαδρομή στην οποία η χάντρα κάνει τον ελάχιστο χρόνο να πάει από το ${\rm A}$ στο $C$, ικανοποιεί την εξίσωση του «μηχανικού νόμου Snell» :

 

όπου ${\theta }_1$ και ${\theta }_2$, οι γωνίες «πρόσπτωσης» και «διάθλασης», αντίστοιχα.

Υπόδειξη:

1. η απάντηση προκύπτει εύκολα εφαρμόζοντας το θεώρημα της μέσης ταχύτητας ή θεώρημα Merton (βλέπε πράσινο ένθετο του κεφαλαίου 1.1 στο βιβλίο της Α’ Λυκείου ΕΔΩ)

2. . 

Εκφράζουμε τις (υποτείνουσες ορθογωνίων τριγώνων) ${\rm A}{\rm B}$ και $BC$ συναρτήσει της μεταβλητής α (οι μέσες ταχύτητες δεν εξαρτώνται από την μεταβλητή α), και απαιτούμε η συνάρτηση να έχει ελάχιστο:

  . 

H απόδειξη είναι παρόμοια με την απόδειξη του νόμου διάθλασης του Snell εφαρμόζοντας την αρχή του Fermat.

Περισσότερα θα βρείτε εδώ: «Mechanical Snell’s Law, arxiv.org/pdf/

Πηγή: physicsgg.me