1. Τα τετράγωνα $1, 25$ και $49$ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, με διαφορά $24$. Βρείτε όλες τις τριάδες τέλειων τετραγώνων που αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.
2. Τα τετράγωνα $1, 25$ και $49$ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, με διαφορά $24$. Δείξτε ότι δεν είναι δυνατό να υπάρχουν $4$ τέλεια τετράγωνα σε αριθμητική πρόοδο.
Θα απαντήσω κάπως στο 1.
ΑπάντησηΔιαγραφήΞεκινάμε από τις πυθαγόρειες τριάδες και καταλήγουμε σε αντίστοιχες αριθμητικές προόδους με τρία τέλεια τετράγωνα ως διαδοχικούς όρους, ως εξής:
3,4,5 -> (4-3)^2, 5^2, (4+3)^2
5,12,13 -> (12-5)^2, 13^2, (12+5)^2
8,15,17 -> (15-8)^2, 17^2, (15+8)^2
7,24,25 -> (24-7)^2, 25^2, (24+7)^2
......
Στη γενική περίπτωση:
Ξεκινάμε με τους ακέραιους α,β,γ όπου α^2+β^2=γ^2 και καταλήγουμε σε αριθμητική πρόοδο με τους (β-α)^2, γ^2, (β+α)^2 ως τρεις διαδοχικούς όρους.
Οι περιπτώσεις είναι άπειρες, όσες και οι πυθαγόρειες τριάδες, αλλά από το γενικό τύπο της πυθαγόρειας τριάδας βρίσκονται εύκολα όλες..☺
Η λύση μου για το 2. παρακάτω: (το διδακτορικό να μού σταλεί ταχυδρομικώς παρακαλώ! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήhttps://www.mathpages.com/home/kmath044/kmath044.htm
Αμέσως, doctor!
ΔιαγραφήΠαρεμπιπτόντως, τις προάλλες κι εγώ εμπνεύστηκα ένα ποίημα του Καβάφη. Δικαιούμαι κάτι;
Αυτό με τα ορθογραφικά λες;😉
ΔιαγραφήΣόρι Μιχάλη, τώρα το είδα..
ΔιαγραφήΌχι ακριβώς, αυτή τη φορά εμπνεύστηκα τη 'Μελαγχολία τοῦ Ἰάσωνος Κλεάνδρου ποιητοῦ ἐν Κομμαγηνῇ 595 μ.χ.'
(έχεις να πεις τίποτα για την ορθογραφία;☺)