Πώς να αναγνωρίσετε την κωνική τομή

Η γενική εξίσωση μιας κωνικής τομής είναι:

$Αx^2 + Βxy + Γy^2 + Δx + Εy + Ζ = 0$

όπου $Α,Β,Γ,Δ, Ε$ και $Ζ$ είναι σταθερές

Από την παραπάνω εξίσωση μπορούμε να εξαγάγουμε συγκεκριμένες εξισώσεις για τον κύκλο, την έλλειψη, την παραβολή και την υπερβολή.

Τα βήματα για τον προσδιορισμό της γραφικής παράστασης μιας κωνικής τομής από τη γενική της μορφή της εξίσωσης είναι: 

• Αν το $Α$ και το $Γ$ είναι ίσα και μη μηδενικά και και τα δύο έχουν το ίδιο πρόσημο, τότε είναι κύκλος.
• Αν το $Α$ και το $Γ$ είναι άνισα και μη μηδενικά και έχουν το ίδιο πρόσημο, τότε είναι έλλειψη.
• Αν το $Α$ ή το $Γ$ είναι μηδέν, τότε είναι παραβολή.
• Αν τα $Α$ και $Γ$ είναι μη μηδενικά και έχουν διαφορετικά πρόσημα, τότε θα είναι υπερβολή.

Παράδειγμα

Προσδιορίστε τη γραφική παράσταση της ακόλουθης εξίσωσης

$4x^2 – 25y^2 – 24x + 250y – 489 = 0$

Λύση

Έχουμε

$4x^ 2 – 25y ^2 – 24x + 250 y – 489 = 0$

Εδώ $Α = 4$ και $Γ =-25$.

Δεδομένου ότι και το $Α$ και το $Γ$ έχουν διαφορετικά πρόσημα και είναι μη μηδενικά είναι υπερβολή.