Το έτος 1924 έφερε στο φως ένα από τα πιο περίεργα αποτελέσματα στην ιστορία των μαθηματικών - ένα αποτέλεσμα τόσο περίεργο που ανησύχησε τους μαθηματικούς.
Προήλθε από τη δουλειά δύο νεαρών Πολωνών μαθηματικών, του Στέφαν Μπάναχ και του Άλφρεντ Τάρσκι, οι οποίοι θα συνέχιζαν να έχουν πολύ επιτυχημένη καριέρα. Αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως παράδοξο Μπάναχ-Τάρσκι είναι εύκολο να εξηγηθεί, αλλά αδύνατο να το πιστέψει κανείς.
Φανταστείτε ότι έχετε μια μπάλα από φελιζόλ. Σου δίνω ένα μαχαίρι και σου ζητώ να το κόψεις σε πέντε κομμάτια. Στη συνέχεια, μπορείτε να αναδιατάξετε αυτά τα κομμάτια για να δημιουργήσετε όλα τα είδη των σχημάτων - το πόσο ενδιαφέροντα είναι αυτά τα σχήματα εξαρτάται από το πώς κόβετε τη μπάλα και πώς θα επαναφέρετε τα κομμάτια μαζί. Τώρα σας προκαλώ με την παρακάτω εργασία.
Alfred Tarski
Μπορείτε να κόψετε την μπάλα με τέτοιο τρόπο ώστε όταν αναδιατάξετε τα κομμάτια να λάβετε δύο μπάλες ίδιες με τη μπάλα με την οποία ξεκινήσατε; Όχι δύο μικρότερες μπάλες, αλλά δύο μπάλες ακριβώς ίδιου μεγέθους; Και δεν μπορείς να τεντώσεις τίποτα. Απλώς κόψτε και αναδιατάξτε.
Σε αυτό το σημείο μάλλον νομίζεις ότι δεν με έχεις καταλάβει. Αλλά έχεις. Κόψτε, αναδιατάξτε τα κομμάτια και voila - δύο μπάλες πανομοιότυπες με αυτήν που ξεκινήσατε. Ενάντια σε όλη τη διαίσθηση μπορεί να γίνει, παρόλο που φαίνεται σαν να δημιουργούμε κάτι από το τίποτα. Για να μάθετε πώς, ας το δούμε λίγο πιο προσεκτικά.
Πρώτον, τα πέντε κομμάτια, ή σετ, που χρειαζόμαστε δεν μπορούν να κατασκευαστούν με μαχαίρι. Είναι πολύ περίπλοκα - τόσο περίπλοκα που μπορούν να κατασκευαστούν μόνο μαθηματικά. Δεύτερον, τα κομμάτια βασίζονται με βαθύ τρόπο στο άπειρο, το οποίο είναι γνωστό ότι προκαλεί παράξενες καταστάσεις. Για παράδειγμα, φανταστείτε ένα ξενοδοχείο με άπειρο αριθμό δωματίων με την ένδειξη 1, 2, 3 και ούτω καθεξής. Σαφώς, εάν όλα τα δωμάτια είναι κατειλημμένα, δεν υπάρχει χώρος για άλλο επισκέπτη. Όχι όμως τόσο γρήγορα. Εάν ζητήσουμε από όλους να μετακινηθούν στο δωμάτιο έναν αριθμό υψηλότερο από το δωμάτιο στο οποίο βρίσκονται, τότε το δωμάτιο με αριθμό 1 γίνεται διαθέσιμο. Φαίνεται σαν να έχουμε δημιουργήσει κάτι από το τίποτα.
Και κάπως έτσι προκύπτει το παράδοξο Μπάναχ-Τάρσκι. Ορίζουμε τα πέντε κομμάτια έτσι ώστε όταν τα χωρίζουμε σε δύο ομάδες, δίνουμε στα κομμάτια της κάθε ομάδας μια μικρή περιστροφή με τον σωστό τρόπο, τα κομμάτια σε κάθε ομάδα ευθυγραμμίζονται και παίρνουμε δύο ίδιες μπάλες.
Είναι ένα ανησυχητικό αποτέλεσμα ακόμη και για τους μαθηματικούς. Τα μαθηματικά ασχολούνται συνήθως με το άπειρο. Αλλά αν δεν είμαστε προσεκτικοί, το άπειρο μπορεί να μας παρασύρει. Γι' αυτό θέσαμε ακριβείς κανόνες για να το αντιμετωπίσουμε. Αυτό που είναι τόσο ενδιαφέρον για το παράδοξο Banach-Tarski είναι ότι όσο περίεργο κι αν είναι, προέρχεται από τους κανόνες που αποδέχονται και εργάζονται οι περισσότεροι μαθηματικοί. Και εκεί βρίσκεται το δίλημμα. Αποδεχόμαστε τους κανόνες που έχουμε, που μας δίνουν το παράδοξο Μπάναχ-Τάρσκι ή αναζητούμε νέους κανόνες; Μπορεί να σας εκπλήξει το γεγονός ότι έχουμε επιλέξει σε μεγάλο βαθμό να διατηρήσουμε τους υπάρχοντες κανόνες. Αυτό θα μπορούσε να αλλάξει. Αλλά προς το παρόν, φαίνεται ότι μπορούμε να πάρουμε δύο μπάλες στην τιμή της μίας.
H μετάφραση έγινε από το Google Translate.
Διαβάστε το κείμενο στα αγγλικά ή ακούστε το εδώ.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου