Σάββατο 4 Νοεμβρίου 2023

84ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «ΘΑΛΗΣ» (2023-2024) - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ

Για να δείτε τις λύσεις, κάντε κλικ εδώ.
Αναρτήθηκε από στις 4.11.23
Ετικέτες ,

3 σχόλια:

  1. michalis zartoulas5 Νοεμβρίου 2023 στις 7:33 μ.μ.

    Πολύ ωραία γενικά τα θέματα. Για το θέμα 4 της Α λυκείου, δεν χρειάζεται το ΑΒΓΔ να είναι τραπέζιο, αρκεί να είναι εγγράψιμο.
    Για το θέμα 4 της Β γυμνασίου, μπορούμε να το δούμε ως εξής: (η λύση μου όταν το πρωτοείδα).
    Έστω ότι από τα 7 παιδιά που επιλέχτηκαν, αυτό που έχει τον μεγαλύτερο αριθμό έχει τον αριθμό n.
    Τότε, το άθροισμα των αριθμών αυτών των 7 παικτών θα ισούται το πολύ με n+n-1+n-2+...+n-7, δηλαδή το πολύ 7n-21. Όμως, ο n δεν μπορεί να ισούται με 20, γιατί αντίκειται στην υπόθεση: ''Κάθε παιδί που επιλέγεται έχει δίπλα του ένα παιδί με μεγαλύτερο αριθμό'' (και ένα με μικρότερο, αλλά δεν μας πειράζει). Δηλαδή, ο n ισούται το πολύ με 19. Επομένως, το άθροισμα των αριθμών που επιλέχτηκαν ισούται το πολύ με 7*19 -21=112.
    Άτοπο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. michalis zartoulas5 Νοεμβρίου 2023 στις 7:38 μ.μ.

    ή αλλιώς... μπορούμε να δούμε ότι το 7n-21 είναι τουλάχιστον ίσο με 113, άρα το 7n είναι τουλάχιστον ίσο με 134 και συνεπώς το n ισούται με 20 που αντίκειται στην συνθήκη του προβλήματος που είπα πριν ...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. michalis zartoulas6 Νοεμβρίου 2023 στις 7:47 μ.μ.

    Αξίζει να αναφέρουμε ότι τα θέματα 2 β λυκ. και 3 γ λυκ. λύνονται κατευθείαν με σύμβολο Legendre.
    Για αυτό θεωρώ ότι το θέμα 3 α λυκ. ήταν το δυσκολότερο θέμα όλων των τάξεων! Πολύ απλά, γιατί θέλει την ''όμορφη'' ιδέα χωρίς εξειδικευμένες γνώσεις.
    Θέμα 2 Β Λυκ.
    Το 6 δεν είναι τετραγωνικό κατάλοιπο (mod7).
    Άρα, δεν υπάρχει τέτοιος n.
    Θέμα 3 Γ Λυκ.
    Συμβλίζω με σύμβολο Legendre για τα τετραγωνικά κατάλοιπα. Είναι:
    (5/7)=(7/5), αφού 5,7 περιττοί πρώτοι με 5=1(mod4). Επομένως (5/7)=(2/5) , αφού ο 5 είναι περιττός πρώτος και 7=2(mod5). Όμως, ως γνωστό αφού ο 5 είναι περιττός πρώτος, έχουμε :
    (2/5)=(-1)^[(5^2-1)/8]=-1 και άρα (5/7)=-1, συνεπώς το 5 δεν είναι τετραγωνικό κατάλοιπο (mod7).
    Άρα, δεν υπάρχει τέτοιος n.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)