Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 442ο

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνεται συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })$ με τύπο 

$f(\chi )=ln(\alpha e^{\chi }—ln\chi )$, $\alpha >0$

για την οποία γνωρίζετε ότι η ευθεία με εξίσωση $\psi =\chi$, είναι ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\mathrm{\infty }$. 

Α. Να αποδείξετε ότι $\alpha =1$.

Β. Αν $\chi >0$,να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$e^{\chi }={\displaystyle \frac{1}{\chi }}$     (1) 

έχει μοναδική ρίζα ${\chi }_0$, η οποία ανήκει στο διάστημα $(0,1)$. 

Στα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι το ${\chi }_0$ είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης (1). 

Γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\chi >0$ ισχύει:

$f(\chi )\ge ln(e^{{\chi }_0}+{\chi }_0$ 

Δ. Αν γνωρίζετε ότι η εξίσωση 

${\chi }_0•e^{f(\chi )}={\chi }_0^2+\lambda$

έχει μία το πολύ ρίζα στο $(0,+\mathrm{\infty })$, να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο πραγματικός αριθμός λ.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα