Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 439ο

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\to R$, για την οποία ισχύουν: 

• $e^{f(χ)} - f(-1)f(χ)=e^x+x+1, $\chi \in R$ και
• f(R)=R.

Α. Να αποδείξετε ότι: 

α) η συνάρτηση $f$ δεν έχει ακρότατα 

β} η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $R$

Β. Να βρείτε τούς $\alpha ,\beta \in R$,αν γνωρίζετε ότι 

Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$f(\chi )=0$     (1) 

έχει μοναδική ρίζα χο , η οποία βρίσκεται στο διάστημα $(-1,0)$. 

Στο παρακάτω ερώτημα να θεωρήσετε ότι το ${\chi }_0$ είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης (1). 

Δ. Εστω συνεχής συνάρτηση $g:R\to R$ με $g({\chi }_0)=1$, για την οποία ισχύει 

$g(χ)+ημf(χ) \geqf(χ)+1$, $\chi \in R$

για κάθε $\chi$.

Να αποδείξετε ότι το ${\chi }_0$ είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης $g$.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα