Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 439ο

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R \rightarrow R$, για την οποία ισχύουν: 

• $e^{f(χ)} - f(-1)f(χ)=e^x+x+1, $χ \in R$ και
• f(R)=R.

Α. Να αποδείξετε ότι: 

α) η συνάρτηση $f$ δεν έχει ακρότατα 

β} η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $R$

Β. Να βρείτε τούς $α,β \in R$,αν γνωρίζετε ότι 

Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$f (χ) = 0$     (1) 

έχει μοναδική ρίζα χο , η οποία βρίσκεται στο διάστημα $(-1,0)$. 

Στο παρακάτω ερώτημα να θεωρήσετε ότι το $χ_0$ είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης (1). 

Δ. Εστω συνεχής συνάρτηση $g: R \rightarrow R$ με $g (χ_0) =1$, για την οποία ισχύει 

$g(χ)+ημf(χ) \geqf(χ)+1$, $χ \in R$

για κάθε $χ$.

Να αποδείξετε ότι το $χ_0$ είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης $g$.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα