Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 436ο

 Του Ηλία Ζωβοϊλη   

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $R\rightarrow  R$,για την οποία ισχύουν: 

και η ευθεία με εξίσωση $ψ = χ$, εφάπτεται στη $C_f$. 

Α. Να αποδείξετε ότι $α = 1$. 

Β. Να αποδείξετε ότι 

 $f(χ)=\dfrac{χ}{1+ |χ |}$. 

Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$f (χ) + f(e^χ) = 0$

έχει μοναδική ρίζα $χ_0$, η οποία βρίσκεται στο διάστημα $(-1,0)$. 

Δ. Αν $χ_0$ είναι η ρίζα της εξίσωσης τον ερωτήματος $Γ$, να αποδείξετε ότι για κάθε $χ\in R$ ισχύει:

$χ^2 + 2e^χ + 2χ_0 \geq χ_{0}^2$.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα