Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 436ο

 Του Ηλία Ζωβοϊλη   

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $R\to R$,για την οποία ισχύουν: 

και η ευθεία με εξίσωση $\psi =\chi$, εφάπτεται στη $C_f$. 

Α. Να αποδείξετε ότι $\alpha =1$. 

Β. Να αποδείξετε ότι 

 $f(\chi )={\displaystyle \frac{\chi }{1+|\chi |}}$. 

Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$f(\chi )+f(e^{\chi })=0$

έχει μοναδική ρίζα ${\chi }_0$, η οποία βρίσκεται στο διάστημα $(-1,0)$. 

Δ. Αν ${\chi }_0$ είναι η ρίζα της εξίσωσης τον ερωτήματος $\Gamma$, να αποδείξετε ότι για κάθε $\chi \in R$ ισχύει:

${\chi }^2+2e^{\chi }+2{\chi }_0\ge {\chi }_0^2$.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα