Κορεατικές Εισαγωγικές Εξετάσεις για τα Πανεπιστήμια (2024) - Ενότητα Ανάλυση

Παρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 23-30 των εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας για το 2024 στα μαθηματικά, για την ενότητα ανάλυση. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση.

23. Ποιά είναι η τιμή του

  ; [2 μόρια]

24. Για την παραμετρική καμπύλη με παράμετρο , ποιά η τιμή του στο σημείο ; [3 μόρια]

25. Δίνονται δυο συναρτήσεις και που ορίζονται και είναι παραγωγίσιμες στο σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών. Η είναι η αντίστροφη συνάρτηση της και η είναι συνεχής στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Αν για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς ισχύει

 

και , ποια η τιμής της ; [3 μόρια]

26. Δίνεται ένα τρισδιάτατο σχήμα, όπως φαίνεται στην εικόνα, του οποίου η βάση περικλύεται από την καμπύλη , τον άξονα και τις δυο ευθείες και . Αν όλες οι τομές αυτού του σχήματος με επίπεδο κάθετο στον άξονα είναι τετράγωνα, ποιός είναι ο όγκος του; [3 μόρια]

27. Έστω η κλίση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της καμπύλης , για πραγματικό αριθμό. Ποια η τιμής της για μια σταθερά , που ικανοποιεί την σχέση ; [3 μόρια]

28. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και επίσης ισχύει , και για είναι . Για όλους τους θετικούς ακέραιους , ο αριθμός των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης , ως προς , είναι . Έστω ότι η μικρότερη από τις δυο ρίζες είναι η και η μεγαλύτερη . Οι δυο συναρτήσεις , ικανοποιούν την σχέση (όπου μια σταθερά) για όλους τους θετικούς ακέραιους.

Ποιά είναι η τιμή του

   

αν ; [4 μόρια]

29. Για τις δυο γεωμετρικές προόδους (ακολουθίες) , των οποίων ο πρώτος όρος και ο λόγος είναι μη μηδενικοί, οι σειρές αντίστοιχα συγκλίνουν και ισχύει

, .

Αν

 

να βρείτε την τιμή του . [4 μόρια]

30. Η παράγωγος της παραγωγίσιμης σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών συνάρτησης είναι . Για θετικό αριθμό ας είναι η εξίσωση της εφαπτόμενης από το σημείο προς την καμπύλη . Όταν απαριθμούμε κατά αύξουσα σειρά από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους θετικούς ακέραιους τέτοιους, ώστε η συνάρτηση  

να παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο (τοπικά) για , ας είναι ο ιοστός. Να βρείτε την τιμή της παράστασης . [4 μόρια]

Πηγή: mathematica