ΕΜΕ Παράρτημα ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ: 14ος Διαγωνισμός Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου «ΕΥΔΗΜΟΣ» [2023 - 24]

ΕΛΛΗΝΙΚΗ  ΜΑΘΗΜΑTIΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

14ος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 

«Ο ΕΥΔΗΜΟΣ» 

Σάββατο 4 Νοεμβρίου 2023

ΘΕΜΑ 1° 

Α) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης 

${\rm A}=2\times {10}^3+4^3-5.8+4\times (3:3-1)$ 

Β} Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης 

${\rm B}=(11-4+3{)}^4:(4\times 6+1)+{30}^2+2^4\times (3^2-1^{23}-3)$ 

Γ) Να αναλύσετε τους αριθμούς ${\rm A}$ και ${\rm B}$ σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

 Δ) Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών ${\rm A}$ και ${\rm B}$.

Μονάδες 1+1+2+1=5

ΘΕΜΑ 2° 

Ξεκινάμε με ένα φυσικό αριθμό μεγαλύτερο του $1$ και κατασκευάζουμε μια σειρά αριθμών σύμφωνα με τον εξής κανόνα: 

• Αν ο αριθμός είναι άρτιος μεταβαίνουμε στο μισό του. 

• Αν ο αριθμός είναι περιττός τον τριrτλασιάζουμε και προσθέτουμε $1$. 

• Η διαδικασία σταματάει όταν φτάσουμε στο $1$. 'Ενα παράδειγμα τέτοιας σειράς με $6$ αριθμούς είναι το εξής: $5,16,8,4,2,1$. 

Α) Να βρείτε τη σειρά που ξεκινάει από το $24$. 

Β) Να βρείτε δύο σειρές με 8 αριθμούς η κάθε μία, που η μία να περιέχει πέντε άρτιους και τρεις περιττούς και η άλλη να περιέχει ακριβώς έξι άρτιους και δύο περιττούς. 

Γ) Να βρείτε σειρά με 8 ακριβώς αριθμούς που συνεχώς να μικραίνουν (φθίνουσα σειρά). 

Δ) Να εξηγήσετε γιατί δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν συνεχόμενα δύο περιττοί αριθμοί. Είναι δυνατόν να υπάρχουν 3 συνεχόμενοι αριθμοί μέσα σε κάποια από αυτές τις σειρές με αύξουσα διάταξη; 

(Το πρόβλημα αυτό κατασκευάστηκε με βάση την Εικασία Cvllatz)

Μονάδες1+1+1+2=5

ΘΕΜΑ 3° 

Ο κύριος Αποστόλης έχει $101$ λίρες και τις τοποθετεί σε τρεις στήλες ${\rm A}.{\rm B}.\Gamma$. 

Α) Να εξηγήσετε γιατί δεν μπορεί οι δύο στήλες να έχουν περιττό (μονό) πλήθος λιρών και η τρίτη στήλη άρτιο (ζυγό) πλήθος λιρών. 

Β) 0 κύριος Αποστόλης ισχυρίζεται ότι χώρισε τις λίρες έτσι ώστε στην στήλη ${\rm A}$ το πλήθος των λιρών να είναι διπλάσιο από αυτό της στήλης ${\rm B}$ και το πλήθος των λιρών της στήλης ${\rm B}$ να είναι διπλάσιο από το πλήθος των λιρών της στήλης $\Gamma$. Λέει αλήθεια; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 

Γ) Αν ο κύριος Αποστόλης Θέλει να χωρίσει τις λίρες του σε στήλες που τα πλήθη τους να είναι διαδοχικά πολλαπλάσια του $5$ και η πρώτη στήλη να έχει $5$ λίρες, πόσες στήλες θα φτιάξει συνολικά και πόσες λίρες Θα του περισσέψουν; 

Μονάδες Ι + 2 + 2 = 5 

ΘΕΜΑ 4° 

Θεωρούμε ότι δύο διαφορετικά σημεία ${\rm A},{\rm B}$ ορίζουν μόνο μια ευθεία. 

Α) Αν έχουμε 4 σταθερά σημεία ${\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta$ που ανά τρία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, πόσες συνολικά ευθείες ορίζονται από αυτά τα 4 σημεία; 

Β) Αν πάρουμε ακόμη τα σημεία ${\rm E},{\rm Z},{\rm H},\Theta$ που είναι στην ίδια ευθεία η οποία δεν περιέχει κανένα από τα σημεία ${\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta$ και τα σημεία ${\rm E},{\rm Z},{\rm H},\Theta$ δεν ανήκουν σε καμιά από τις ευθείες του ερωτήματος (Α) να βρείτε το πλήθος όλων των ευθειών που μπορούν να οριστούν από τα σημεία ${\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta ,{\rm E},{\rm Z},{\rm H},\Theta$ (σύμφωνα με τα παραπάνω δεδομένα). 

Γ) Για να χαράξουμε τις προηγούμενες ευθείες χρησιμοποιούμε $7$ διαφορετικά χρώματα. 

Να εξηγήσετε γιατί θα υπάρχουν τουλάχιστον $4$ ευθείες από αυτές που θα είναι του ίδιου χρώματος. 

Μονάδες Ι + 2 + 2 = 5