ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑTIΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ
14ος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
«Ο ΕΥΔΗΜΟΣ»
Σάββατο 4 Νοεμβρίου 2023
ΘΕΜΑ 1°
Α) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης
$Α=2\times10^3+4^3-5.8+4\times(3:3-1)$
Β} Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης
$Β= (11-4+3)^4: (4\times6+1) +30^2+2^4\times(3^2-1^{23}-3)$
Γ) Να αναλύσετε τους αριθμούς $Α$ και $Β$ σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Δ) Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών $Α$ και $Β$.
ΘΕΜΑ 2°
Ξεκινάμε με ένα φυσικό αριθμό μεγαλύτερο του $1$ και κατασκευάζουμε μια σειρά αριθμών σύμφωνα με τον εξής κανόνα:
• Αν ο αριθμός είναι άρτιος μεταβαίνουμε στο μισό του.
• Αν ο αριθμός είναι περιττός τον τριrτλασιάζουμε και προσθέτουμε $1$.
• Η διαδικασία σταματάει όταν φτάσουμε στο $1$. 'Ενα παράδειγμα τέτοιας σειράς με $6$ αριθμούς είναι το εξής: $5, 16, 8, 4, 2, 1$.
Α) Να βρείτε τη σειρά που ξεκινάει από το $24$.
Β) Να βρείτε δύο σειρές με 8 αριθμούς η κάθε μία, που η μία να περιέχει πέντε άρτιους και τρεις περιττούς και η άλλη να περιέχει ακριβώς έξι άρτιους και δύο περιττούς.
Γ) Να βρείτε σειρά με 8 ακριβώς αριθμούς που συνεχώς να μικραίνουν (φθίνουσα σειρά).
Δ) Να εξηγήσετε γιατί δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν συνεχόμενα δύο περιττοί αριθμοί. Είναι δυνατόν να υπάρχουν 3 συνεχόμενοι αριθμοί μέσα σε κάποια από αυτές τις σειρές με αύξουσα διάταξη;
(Το πρόβλημα αυτό κατασκευάστηκε με βάση την Εικασία Cvllatz)
Μονάδες1+1+1+2=5
ΘΕΜΑ 3°
Ο κύριος Αποστόλης έχει $101$ λίρες και τις τοποθετεί σε τρεις στήλες $Α. Β. Γ$.
Α) Να εξηγήσετε γιατί δεν μπορεί οι δύο στήλες να έχουν περιττό (μονό) πλήθος λιρών και η τρίτη στήλη άρτιο (ζυγό) πλήθος λιρών.
Β) 0 κύριος Αποστόλης ισχυρίζεται ότι χώρισε τις λίρες έτσι ώστε στην στήλη $Α$ το πλήθος των λιρών να είναι διπλάσιο από αυτό της στήλης $Β$ και το πλήθος των λιρών της στήλης $Β$ να είναι διπλάσιο από το πλήθος των λιρών της στήλης $Γ$. Λέει αλήθεια; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Γ) Αν ο κύριος Αποστόλης Θέλει να χωρίσει τις λίρες του σε στήλες που τα πλήθη τους να είναι διαδοχικά πολλαπλάσια του $5$ και η πρώτη στήλη να έχει $5$ λίρες, πόσες στήλες θα φτιάξει συνολικά και πόσες λίρες Θα του περισσέψουν;
Μονάδες Ι + 2 + 2 = 5
ΘΕΜΑ 4°
Θεωρούμε ότι δύο διαφορετικά σημεία $Α, Β$ ορίζουν μόνο μια ευθεία.
Α) Αν έχουμε 4 σταθερά σημεία $Α, Β, Γ, Δ$ που ανά τρία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, πόσες συνολικά ευθείες ορίζονται από αυτά τα 4 σημεία;
Β) Αν πάρουμε ακόμη τα σημεία $Ε, Ζ, Η, Θ$ που είναι στην ίδια ευθεία η οποία δεν περιέχει κανένα από τα σημεία $Α, Β, Γ, Δ$ και τα σημεία $Ε, Ζ, Η, Θ$ δεν ανήκουν σε καμιά από τις ευθείες του ερωτήματος (Α) να βρείτε το πλήθος όλων των ευθειών που μπορούν να οριστούν από τα σημεία $Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ$ (σύμφωνα με τα παραπάνω δεδομένα).
Γ) Για να χαράξουμε τις προηγούμενες ευθείες χρησιμοποιούμε $7$ διαφορετικά χρώματα.
Να εξηγήσετε γιατί θα υπάρχουν τουλάχιστον $4$ ευθείες από αυτές που θα είναι του ίδιου χρώματος.
Μονάδες Ι + 2 + 2 = 5
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου