ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑTIΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
14ος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
«Ο ΕΥΔΗΜΟΣ»
Σάββατο 4 Νοεμβρίου 2023
ΘΕΜΑ 1°
Α) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης
Β} Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης
Γ) Να αναλύσετε τους αριθμούς και σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Δ) Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών και .
ΘΕΜΑ 2°
Ξεκινάμε με ένα φυσικό αριθμό μεγαλύτερο του και κατασκευάζουμε μια σειρά αριθμών σύμφωνα με τον εξής κανόνα:
• Αν ο αριθμός είναι άρτιος μεταβαίνουμε στο μισό του.
• Αν ο αριθμός είναι περιττός τον τριrτλασιάζουμε και προσθέτουμε .
• Η διαδικασία σταματάει όταν φτάσουμε στο . 'Ενα παράδειγμα τέτοιας σειράς με αριθμούς είναι το εξής: .
Α) Να βρείτε τη σειρά που ξεκινάει από το .
Β) Να βρείτε δύο σειρές με 8 αριθμούς η κάθε μία, που η μία να περιέχει πέντε άρτιους και τρεις περιττούς και η άλλη να περιέχει ακριβώς έξι άρτιους και δύο περιττούς.
Γ) Να βρείτε σειρά με 8 ακριβώς αριθμούς που συνεχώς να μικραίνουν (φθίνουσα σειρά).
Δ) Να εξηγήσετε γιατί δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν συνεχόμενα δύο περιττοί αριθμοί. Είναι δυνατόν να υπάρχουν 3 συνεχόμενοι αριθμοί μέσα σε κάποια από αυτές τις σειρές με αύξουσα διάταξη;
(Το πρόβλημα αυτό κατασκευάστηκε με βάση την Εικασία Cvllatz)
Μονάδες1+1+1+2=5
ΘΕΜΑ 3°
Ο κύριος Αποστόλης έχει λίρες και τις τοποθετεί σε τρεις στήλες .
Α) Να εξηγήσετε γιατί δεν μπορεί οι δύο στήλες να έχουν περιττό (μονό) πλήθος λιρών και η τρίτη στήλη άρτιο (ζυγό) πλήθος λιρών.
Β) 0 κύριος Αποστόλης ισχυρίζεται ότι χώρισε τις λίρες έτσι ώστε στην στήλη το πλήθος των λιρών να είναι διπλάσιο από αυτό της στήλης και το πλήθος των λιρών της στήλης να είναι διπλάσιο από το πλήθος των λιρών της στήλης . Λέει αλήθεια; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Γ) Αν ο κύριος Αποστόλης Θέλει να χωρίσει τις λίρες του σε στήλες που τα πλήθη τους να είναι διαδοχικά πολλαπλάσια του και η πρώτη στήλη να έχει λίρες, πόσες στήλες θα φτιάξει συνολικά και πόσες λίρες Θα του περισσέψουν;
Μονάδες Ι + 2 + 2 = 5
ΘΕΜΑ 4°
Θεωρούμε ότι δύο διαφορετικά σημεία ορίζουν μόνο μια ευθεία.
Α) Αν έχουμε 4 σταθερά σημεία που ανά τρία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, πόσες συνολικά ευθείες ορίζονται από αυτά τα 4 σημεία;
Β) Αν πάρουμε ακόμη τα σημεία που είναι στην ίδια ευθεία η οποία δεν περιέχει κανένα από τα σημεία και τα σημεία δεν ανήκουν σε καμιά από τις ευθείες του ερωτήματος (Α) να βρείτε το πλήθος όλων των ευθειών που μπορούν να οριστούν από τα σημεία (σύμφωνα με τα παραπάνω δεδομένα).
Γ) Για να χαράξουμε τις προηγούμενες ευθείες χρησιμοποιούμε διαφορετικά χρώματα.
Να εξηγήσετε γιατί θα υπάρχουν τουλάχιστον ευθείες από αυτές που θα είναι του ίδιου χρώματος.
Μονάδες Ι + 2 + 2 = 5