Σταθερά Landau-Ramanujan

Στα μαθηματικά και στο πεδίο της θεωρίας αριθμών, η σταθερά Landau-Ramanujan είναι ο θετικός πραγματικός αριθμός $b$ που εμφανίζεται σε ένα θεώρημα που αποδείχθηκε από τον 

Edmund Landau το $1908$, δηλώνοντας ότι για τα μεγάλα $x$, ο αριθμός των θετικών ακέραιων κάτω από $x$ που είναι το άθροισμα των δύο τετραγωνικών αριθμών συμπεριφέρεται ασυμπτωματικά ως

\( {\displaystyle {\dfrac {bx}{\sqrt {\ln(x)}}}.} \)

Αυτή η σταθερά β ανακαλύφθηκε ξανά το $1913$ από τη Srinivasa Ramanujan, στην πρώτη επιστολή που έγραψε στον G.H. Χάρντι.

Άθροισμα δύο τετραγώνων

Με το άθροισμα των δύο τετραγώνων θεώρημα, οι αριθμοί που μπορούν να εκφραστούν ως άθροισμα των δύο τετραγώνων των ακέραιων είναι αυτοί για τους οποίους κάθε πρώτος αριθμός που είναι ισοϋπόλοιπος με το $3 mod 4$ εμφανίζεται με έναν άρτιο εκθέτη στην παραγοντοποίησή πρώτων τους. Για παράδειγμα, το $45 = 9 + 36$ είναι ένα άθροισμα δύο τετραγώνων. Στην παραγοντοποίησή πρώτων του, $32 × 5$, ο πρώτος αριθμός $3$ εμφανίζεται με έναν άρτιο εκθέτη και πρώτος αριθμός $5$ είναι ισοϋπόλοιπος με $1 mod 4$, οπότε ο εκθέτης του μπορεί να είναι περιττός.

Το θεώρημα του Landau δηλώνει ότι εάν το $N (x)$ είναι ο αριθμός των θετικών ακέραιων μικρότερων από $x$ που είναι το άθροισμα των δύο τετραγώνων, τότε

\( {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\ N(x)\left/{\dfrac {x}{\sqrt {\ln(x)}}}\right.=b\approx 0.764223653589220662990698731250092328116790541} \) (ακολουθία A064533 στον OEIS), όπου $b$ είναι η σταθερά Landau – Ramanujan.

Ιστορία

Αυτή η σταθερά δηλώθηκε από τον Landau στην παραπάνω οριακή μορφή. Αντίθετα, ο Ramanujan προσέγγισε το $N (x)$ ως ολοκλήρωμα, με την ίδια σταθερά αναλογικότητας και με έναν αργά αναπτυσσόμενο όρο σφάλματος. 

Πηγή: hellenicaworld