Κανόνας του De l’ Hospital

Θεώρημα 

Εστω $f, g : (a, x_0) ∪ (x_0, b) → R$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις με τις εξής ιδιότητες: 

(α) $g(x) = 0$ και $g' (x) = 0$ για κάθε $x ∈ (a, x_0) ∪ (x_0, b)$.

(β) $lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=lim_{x \rightarrow x_0}g(x)=0$.

Αν υπάρχει το 

$lim_{x \rightarrow x_0}\dfrac{f' (x)}{g' (x)}∈R$, 

τότε υπάρχει το 

$lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}$

και 

$lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}= lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f' (x)}{g' (x)}$

Απόδειξη

Ορίζουμε τις $f$ και $g$ στο $x_0$ θέτοντας 

$f(x_0) = g(x_0) = 0$. 

Αφού 

$lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=lim_{x \rightarrow x_0}g(x)=0$

οι $f$ και $g$ γίνονται τώρα συνεχείς στο $(a, b)$. 

Θα δείξουμε ότι 

$lim_{x \rightarrow x_0^{+}} \dfrac{f(x)}{g(x)}=l= lim_{x \rightarrow x_0^{+}} \dfrac{f' (x)}{g' (x)}$

Εχουμε 

$\dfrac{f(x)}{g(x)}= \dfrac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}$

για κάθε $x ∈ (x_0, b)$. 

Οι $f', g'$ δεν έχουν κοινή ρίζα στο $(x_0, x)$ γιατί η $g'$ δεν μηδενίζεται πουθενά. 

Επίσης $g(x) = 0$, δηλαδή

 $g(x) − g(x_0) = 0$. 

Εφαρμόζοντας λοιπόν το θεώρημα μέσης τιμής του Cauchy μπορούμε για κάθε $x ∈ (x_0, b)$ να βρούμε $ξ_x ∈ (x_0, x)$ ώστε 

$\dfrac{f(x)}{g(x)}= \dfrac{f'(ξ_χ)}{g'(ξ_x)}$.

Έστω τώρα ότι  $lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f' (x)}{g' (x)}=l$ και έστω $ε > 0$. 

Μπορούμε να βρούμε $δ > 0$ ώστε: 

αν $x_0 < y < x_0 + δ$ 

τότε 

$\mid \dfrac{ f'(y)}{g'(y)}-l|<ε$.

Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις βλέπουμε ότι αν $x_0 < x < x_0 + δ$ τότε 

$\mid \dfrac{f(x)}{g(x)}-l|=\mid \dfrac{ f'(ξ_x)}{g'(ξ_x)}-l| <ε$

(γιατί $x_0 < ξ_x < x < x_0 + δ)$. 

΄Αρα, 

$lim_{x \rightarrow x_0^{+}} \dfrac{f(x)}{g(x)}=l= lim_{x \rightarrow x_0^{+}} \dfrac{f' (x)}{g' (x)}$.

Με ανάλογο τρόπο δείχνουμε ότι 

$lim_{x \rightarrow x_0^{-}} \dfrac{f(x)}{g(x)}=l$.