Σάββατο 21 Οκτωβρίου 2023

Παράσταση $ab+ bc+ ac$

Έστω $a, b, c$ πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει
$𝒂^𝟐 + 𝒃^𝟐 + 𝒄^𝟐 = 𝟏$ 
τότε η παράσταση $ab +bc+ ca$ ικανοποιεί την συνθήκη: 
(α) $ab+ bc+ ac = $ σταθερά
(β) $-\dfrac{1}{2} ≤ ab+ bc+ ac ≤ 𝟏$
(γ) $-\dfrac{1}{4} ≤ ab+ bc+ ac ≤ 𝟏$
(δ) $-1 ≤ ab+ bc+ ac ≤ 𝟏$
Αναρτήθηκε από στις 21.10.23
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. ANTHONY21 Οκτωβρίου 2023 στις 9:14 μ.μ.

    Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. kfd22 Οκτωβρίου 2023 στις 10:54 μ.μ.

    $\left ( a+b+c \right )^{2}=1+2\left ( ab+bc+ca \right )\geq 0\Rightarrow ab+bc+ca\geq -0,5$, άρα όχι γ.
    Για $a=\frac{\sqrt{3}}{2},b=\frac{1}{2},c=0\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{\sqrt{3}}{4}$, ενώ για
    $a=\frac{1}{4},b=\frac{\sqrt{15}}{4},c=0\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{\sqrt{15}}{16}$, άρα α όχι.
    $ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}$ με κυκλική εναλλαγή και πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει $ab+bc+ca\leq 1$.
    Aν $ab+bc+ca<-\dfrac{1}{2}=>2ab+2ac+2ca+a^{2}+b^{2}+c^{2}<0=>(a+b+c)^{2}<0$ άτοπο, άρα το β.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)