Τρίτη 17 Οκτωβρίου 2023

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [21]

Έστω $f(x)$ πολυώνυμο $∀ x∊ℝ$. Αν 
$f(0)= 1$, \[ \lim_{x\to+\infty} f''(x)=4 \]και 
$𝒇(𝒙) ≥ 𝒇(𝟏)$
τότε η τιμή $f(2)$ ισούται με  
(α) $4$      (β) $0$      (γ) $1$      (δ) $3$
Αναρτήθηκε από στις 17.10.23
Ετικέτες

1 σχόλιο:

  1. michalis zartoulas18 Οκτωβρίου 2023 στις 8:50 μ.μ.

    Αφού το όριο που δίνεται είναι πραγματικός αριθμός, έπεται ότι το πολυώνυμο είναι βαθμού το πολύ 2. Επίσης, η f είναι παραγωγίσιμη (ως πολυωνυμική) και αφού παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο xo=1 (είναι παραγωγίσιμη στο xo=1), από Θ. Fermat f'(1)=0.
    Αν η f είναι σταθερή, έχουμε άμεσα άτοπο.
    Αν η f είναι της μορφής f(x)=ax+b για κάποιους πραγματικούς αριθμούς a,b, τότε f'(x)=a για κάθε πραγματικό αριθμό x και άρα a=0 και f(x)=b άτοπο.
    Άρα, η f είναι της μορφής f(x)=kx^2+lx+d, για κάποιους πραγματικούς αριθμούς k,l,d. Είναι f'(x)=2kx+l , για κάθε πραγματικό αριθμό x και άρα:
    f'(1)=0 και άρα 2k+l=0 (1)
    Επίσης: f(0)=1 και άρα d=1.
    Δηλαδή :f(x)=kx^2+lx+1, για κάποιους πραγματικούς αριθμούς k,l και για κάθε πραγματικό αριθμό x.
    Επίσης, είναι f''(x)=2k, για κάθε πραγματικό αριθμό x και αφού η τιμή του ορίου που δίνεται είναι ίση με 4, έπεται ότι k=2 και από την (1), και l=-4.
    Επομένως: f(x)=2x^2-4x+1, για κάθε πραγματικό αριθμό x .
    Συνεπώς: f(2)=1 (γ)

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)