Μερικοί αριθμοί έχουν την ειδική ιδιότητα ότι δεν μπορούν να εκφραστούν ως το γινόμενο δύο μικρότερων αριθμών, π.χ. οι 2, 3, 5, 7 κ.λπ. Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι αριθμοί και παίζουν σημαντικό ρόλο, τόσο στα καθαρά μαθηματικά όσο και τις εφαρμογές τους. 
Η κατανομή τέτοιων πρώτων αριθμών μεταξύ όλων των φυσικών αριθμών δεν ακολουθεί κανένα κανονικό μοτίβο. Ωστόσο, ο Γερμανός μαθηματικός GFB Riemann (1826 – 1866) στην περίφημη υπόθεση Ρίμαν, που φέρνει το όνομά του, έκανε μια σημαντική παρατήρηση επάνω σε αυτό.
Η παρατήρησή του ήταν καθαρά τεχνική, καθαρά μαθηματικής φύσεως. Αν όμως ποτέ επαληθευόταν, θα έκλεινε ένα ζήτημα για την θεωρία αριθμών που είχε ανοίξει από την εποχή του Ευκλείδη. Θα γινόταν γνωστός ένας τρόπος με τον οποίο θα αποκαλύπτονταν όλοι οι πρώτοι αριθμοί.
Η υπόθεση – τεχνικής, επαναλαμβάνω, φύσεως – αφορούσε το εξής. Ο Ρίμαν το 1859 παρατήρησε ότι η συχνότητα των πρώτων αριθμών, το πόσο συχνά εμφανίζονταν στο σύνολο των φυσικών αριθμών, είχε σχέση με τη συνάρτηση
$ζ(s) = 1 + 1/2 s + 1/3 s + 1/4 s + …$
η οποία ονομάστηκε συνάρτηση ζ του Ρίμαν. Ο Ρίμαν, υποστήριξε ότι όλες οι λύσεις της εξίσωσης
$ζ(s)=0$
βρίσκονται στην ευθεία $x=1/2$.
Αν αποδεικνυόταν κάτι τέτοιο, η κατανομή των πρώτων αριθμών θα γίνονταν πιο απλή. Ο τρόπος που θα ανακαλύπτονταν θα γινόταν απλούστερος, η πόρτα που θα άνοιγε τη κατανόηση του σύμπαντος των πρώτον αριθμών θα ξεκλειδωνόταν.
Το κλειδί, ήταν η Υπόθεση Ρίμαν.
Αρχικά πιστευόταν ότι η παραπάνω υπόθεση δεν αποτελούσε παρά διαίσθηση του Ρίμαν. Μετά το θάνατό του, αποδείχτηκε ότι ο ίδιος ο Ρίμαν είχε δουλέψει πάνω στην υπόθεση και είχε βρει αρκετούς αριθμούς που ικανοποιούσαν την υπόθεσή του. Ο θρύλος μάλιστα λέει πως τμήματα των εγγράφων του έχουν χαθεί, και πως στα χαμένα αυτά έγγραφα βρίσκεται η απόδειξη της Υπόθεσης.
Το πιο διαβόητο πρόβλημα
Το θέμα είναι ότι πολύ σύντομα, η υπόθεση Ρίμαν έγινε από τα πιο γνωστά προβλήματα των μαθηματικών ήδη πριν κλείσει ο 19ος αιώνας. Στο περιβόητο συνέδριο του Αμβούργου το 1900, ο εισηγητής Ντ. Χίλμπερτ τοποθέτησε την απόδειξη της Υπόθεσης Ρίμαν 8η στο σύνολο των 23 συνολικά πεδίων που θα έπρεπε να στρέψει τη προσοχή της η μαθηματική κοινότητα, στην αυγή του νέου αιώνα. Η απόδειξη θα ισοδυναμούσε με διασημότητα και μεγάλη οικονομική απολαβή. Η υπόθεση έγινε το μεγάλο τρόπαιο για τον κάθε φερέλπιν μαθηματικό.
Και οι προσπάθειες απόδειξής του ήταν πολλές.
Λύσεις που δεν ήρθαν ποτέ
Ήδη από το 1885 ο Stieltjes είχε δημοσιεύσει ένα σημείωμα που ισχυριζόταν ότι απέδειξε την εικασία του Mertens, ένα αποτέλεσμα που αν ήταν σωστό, από αυτό θα προέκυπτε άμεσα ότι η Υπόθεση ήταν αληθής. Ωστόσο, η ίδια η απόδειξη δεν δημοσιεύτηκε ποτέ, ούτε βρέθηκε στις εφημερίδες του Stieltjes μετά τον θάνατό του Επιπλέον, η εικασία Mertens αποδείχτηκε τελικά ψευδής, ακυρώνοντας πλήρως αυτόν τον ισχυρισμό.
Ο Γκ. Χ. Χάρντι, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς των αρχών του προηγούμενου αιώνα. Σε μια εξαιρετικής μικρότητας κίνηση τηλεγραφεί σε ένα συνάδελφό του μαθηματικό λέγοντάς του ότι απέδειξε την Υπόθεση Ρίμαν, κάτι που αργότερα ομολόγησε ότι ήταν ψευδές. Τι είχε συμβεί.
Ο ίδιος ισχυρίστηκε το εξής. Ετοιμαζόταν να διασχίσει με το πλοίο τη φουρτουνιασμένη Μάγχη, κι επειδή φοβόταν τα καράβια και τη θάλασσα, έστειλε αυτό το τηλεγράφημα με την εξής σκέψη. Πως ο Θεός, δεν θα άφηνε ένα τέτοιο ψέμα να επιζήσει, έτσι θα φρόντιζε να επιζήσει ο ίδιος ο Χάρντι ώστε να αποκαλυφθεί το ψέμα του.
Κάτι που θα μπορούσε να είναι πιστευτό, αν ο Χάρντι ήταν θεοσεβούμενος – που αντιθέτως, ήταν ένας δηλωμένος άθεος. Αυτό που μπορούμε κάλλιστα να υποθέσουμε είναι πως ο Χάρντι πράγματι φοβόταν τη θάλασσα και τα καράβια. Σε τέτοιο βαθμό μάλιστα, που πίστευε πως ήταν πολύ πιθανό να μην επιζήσει από αυτό το ταξίδι. Έτσι, φρόντισε να τυλίξει το πρόσωπό του γύρω από ένα παντοτινά αδιευκρίνιστο μυστήριο, και να αφήσει το όνομά του στην ιστορία όχι για όσα έκανε, αλλά γι΄ αυτά που ήθελε να πιστεύει ο κόσμος ότι έκανε.
Δυστυχώς (;) γι΄ αυτόν, το σχέδιό του δεν έπιασε.
Και οι προσπάθειες συνεχίζονται
Στα τέλη της δεκαετίας του 1940, η λανθασμένη απόδειξη του H. Rademacher για το ψευδές της υπόθεσης του Riemann αναφέρθηκε στο περιοδικό Time, ακόμη και αφού είχε αποκαλυφθεί ένα ελάττωμα στην απόδειξη από τον Siegel.
Ο de Branges έχει γράψει μια σειρά από εργασίες που συζητούν μια πιθανή προσέγγιση στη γενικευμένη υπόθεση Riemann ) και στην πραγματικότητα ισχυρίζεται ότι αποδεικνύει τη γενικευμένη υπόθεση Riemann. Στη πραγματικότητα, πραγματική απόδειξη δεν φαίνεται να υπάρχει στα έγγραφα και τις δημοσιεύσεις του. Επιπλέον, οι Conrey και Li (1998) αποδεικνύουν ένα αντιπαράδειγμα στην προσέγγιση του de Branges, που ουσιαστικά σημαίνει ότι η θεωρία που αναπτύχθηκε από τον de Branges δεν είναι βιώσιμη.
Και όλες οι προσπάθειες αποδείχτηκαν μετά από ενάμιση σχεδόν αιώνα τόσο άκαρπες, που το ινστιτούτο Clay Mathematics πρόσφερε ένα εκατομμύριο δολάρια σε όποιον έφτανε στην απόδειξη της υπόθεσης. Κάτι που πολλοί συνέχισαν να το προσπαθούν, με κανέναν να μη το καταφέρνει και ανά καιρούς να εμφανίζεται κάποιος που ισχυρίζεται το αντίθετο. Χαρακτηριστικό παράδειγμα η περίπτωση του 89χρονου Μ. Ατιγιάχ, πρώην ισχυρού και αξιοσέβαστου μαθηματικού, του οποίου πλέον οι διαδοχικοί ισχυρισμοί και τα γραπτά που παρουσιάζει ως “αποδείξεις” έχουν πλέον προκαλέσει τον οίκτο των συναδέλφων του και πρώην μαθητών του.
Η Υπόθεση Ρίμαν στη λογοτεχνία και τον κινηματογράφο
Στην ταινία A Beautiful Mind του 2001 του Ρον Χάουαρντ , ο Τζον Νας (που υποδύεται ο Ράσελ Κρόου) παρεμποδίζεται στις προσπάθειές του να λύσει την υπόθεση Riemann από τη φαρμακευτική αγωγή που παίρνει για να θεραπεύσει τη σχιζοφρένεια του.
Στο επεισόδιο 1 της σεζόν ” Prime Suspect ” (2005) του τηλεοπτικού εγκληματικού δράματος NUMB3RS , η ιδιοφυΐα των μαθηματικών Charlie Eppes συνειδητοποιεί ότι η κόρη του χαρακτήρα Ethan έχει απαχθεί επειδή είναι κοντά στην επίλυση της υπόθεσης Riemann, η οποία φέρεται να επέτρεπε στους δράστες να σπάσουν ουσιαστικά. όλη η ασφάλεια στο διαδίκτυο.
Στο μυθιστόρημα Life After Genius (Jacoby 2008), ο κύριος χαρακτήρας Theodore “Mead” Fegley (ο οποίος είναι μόλις 18 ετών και τελειόφοιτος κολεγίου) προσπαθεί να αποδείξει την υπόθεση Riemann για το ερευνητικό του έργο για το τελευταίο έτος. Χρησιμοποιεί επίσης έναν υπερυπολογιστή Cray για να υπολογίσει πολλά δισεκατομμύρια μηδενικά της συνάρτησης ζήτα Riemann. Σε πολλές ακολουθίες ονείρων μέσα στο βιβλίο, ο Μιντ έχει συνομιλίες με τον Μπέρνχαρντ Ρίμαν για το πρόβλημα και τα μαθηματικά γενικά.
Ενώ ο Πέτρος Δοξιάδης στο μυθιστόρημά του Ο Θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκολντμπαχ βάζει τον ήρωά του να μην αποφασίζει τελικά να επικεντρώσει τις προσπάθειές του στην απόδειξη της διαβόητης υπόθεσης Ρίμαν, αλλά να στρέψει τελικά τη προσοχή του σε μια άλλη εξ΄ ίσου αναπόδειχτη θέση των μαθηματικών, την οποία υποτίθεται πως την είχε διατυπώσει και ο ίδιος στη παιδική του ηλικία.
Και όσον αφορά την ίδια την Υπόθεση; Μπορεί να περιμένει την επόμενη Μαθηματική διάνοια που θα τη νικήσει. Ή, από την άλλη μεριά, να υπόκειται απλά στη σπάνια περίπτωση της Εικασίας του Γκόλνμπαχ, αυτής της κατάρας των μαθηματικών που έχει υπαγορεύσει στους μαθηματικούς ανά το κόσμο πως το κλειδί της απόλυτης γνώσης, δεν θα τους δοθεί ποτέ.
Πηγή: pop-sci
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου