Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 31ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1

Οι θετικοί ακέραιοι είναι διαφορετικοί ανά δύο και οι θετικές διαφορές μεταξύ δύο οποιονδήποτε από αυτούς σχηματίζουν ένα σύνολο με στοιχεία διαδοχικούς θετικούς ακεραίους.

α) Να δείξετε ότι

 

β) Να βρείτε παράδειγμα τέτοιων αριθμών.

ΘΕΜΑ 2

Έστω μια αναδιάταξη των αριθμών .

Δείξτε ότι υπάρχουν έτσι ώστε

  και

ΘΕΜΑ 3

Σε μια λέσχη διαβάσματος έχουν πάρει μέρος n μαθητές. Υπάρχουν συνολικά 6 μαθήματα διαβάσματος κάθε ένα από τα οποία παρακολουθείται από ακριβώς 40 μαθητές. Αν δίνεται ότι κάθε δύο μαθήματα έχουν το πολύ 9 κοινούς μαθητές που τα παρακολουθούν να βρείτε τον ελάχιστο n.

ΘΕΜΑ 4

Από τις κορυφές ορθογωνίου τριγώνου φέρνω εκτός του τριγώνου κάθετες στην υποτείνουσα και θεωρώ επί αυτών τα σημεία αντίστοιχα ώστε και Οι τέμνονται στο και οι τέμνουν την στα  

Να δείξετε ότι η διχοτομεί το τμήμα

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica