to.png)
$f(χ)=χ^2+α$
όπου ο $α$ είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός, για την οποία ισχύει ότι:
$(f \circ f)(x)=x^4-2x^2$
για κάθε $x \in R$.
α. Να αποδείξετε ότι $α=-1$.
β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
$f \circ f - f^2$
είναι σταθερή.
γ. Να υπολογίσετε το όριο
Πηγή: Παύλος Τρύφων
a.$f(f(x))=x^{4}+2ax^{2}+a^{2}+a=x^{4}-2x^{2}$<=>
ΑπάντησηΔιαγραφή$a=-1$
b.H παράγωγός της:${f}'(f(x)){f}'(x)-2f(x){f}'(x)=4xf(x)-4xf(x)=0$=>σταθερή
c.$\left ( 1-x^{2} \right )\frac{sin^{2}\frac{1}{x^{2}}}{cos\frac{1}{x^{2}}+1}$=$\left ( \frac{1}{x^{2}}-1 \right )\frac{sin\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}sin\frac{1}{x^{2}}$ και θέτοντας $u=\dfrac{1}{x^{2}}$ το αποτέλεσμα 0.