Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 14ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων  για τις οποίες υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών  και  και εμβαδόν αριθμητικά ίσο με 

ΘΕΜΑ 2ο

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο  με  και σημεία  και  των πλευρών  και  αντίστοιχα, διάφορα των  τέτοια ώστε  Να δείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου  διέρχεται από το περίκεντρο του τριγώνου 

ΘΕΜΑ 3ο

Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο αριθμό (όχι απαραίτητα ακέραιο). Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 1», ο δεύτερος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 2», …, ο δέκατος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 10». Μετά από αυτό και οι δέκα τους, αναφώνησαν με κάποια σειρά: «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 1», «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 2», …, «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 10» (ο καθένας τους είπε μία από αυτές τις φράσεις). 

Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των 10 ατόμων;

(Από εδώ: mathematica)

ΘΕΜΑ 4ο

Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης  όπου  και  πραγματικοί αριθμοί με  και

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica