Αν το μήκος της πλευράς ενός τριγώνου είναι μικρότερο από το μέσο όρο των μηκών των άλλων δύο πλευρών, δείξτε ότι η απέναντι γωνία είναι μικρότερη από το μέσο όρο των άλλων δύο γωνιών.
Έστω Α,Β,Γ οι γωνίες και α,β,γ οι απέναντι πλευρές και (α+β)/2>γ. Από νόμο ημιτόνων: ημΑ/α=ημΒ/β=ημΓ/γ => [(ημΑ+ημΒ)/2]/[(α+β)/2]=ημΓ/γ => (ημΑ+ημΒ)/2>ημΓ Αλλά σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει πάντα: ημ[(Α+Β)/2] ≥ (ημΑ+ημΒ)/2 (γιατί?), επομένως ημ[(Α+Β)/2] > ημΓ => (Α+Β)/2 > Γ ό.έ.δ.
Έστω Α,Β,Γ οι γωνίες και α,β,γ οι απέναντι πλευρές και (α+β)/2>γ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό νόμο ημιτόνων:
ημΑ/α=ημΒ/β=ημΓ/γ =>
[(ημΑ+ημΒ)/2]/[(α+β)/2]=ημΓ/γ =>
(ημΑ+ημΒ)/2>ημΓ
Αλλά σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει πάντα: ημ[(Α+Β)/2] ≥ (ημΑ+ημΒ)/2 (γιατί?), επομένως
ημ[(Α+Β)/2] > ημΓ => (Α+Β)/2 > Γ ό.έ.δ.
$\frac{sinA+sinB}{2}\leq sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A+B}{2}\leq sin\frac{A+B}{2}$
ΑπάντησηΔιαγραφή