Σάββατο 19 Αυγούστου 2023

Μέσοι όροι στο τρίγωνο

Αν το μήκος της πλευράς ενός τριγώνου είναι μικρότερο από το μέσο όρο των μηκών των άλλων δύο πλευρών, δείξτε ότι η απέναντι γωνία είναι μικρότερη από το μέσο όρο των άλλων δύο γωνιών.
Αναρτήθηκε από στις 19.8.23
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. papadim19 Αυγούστου 2023 στις 7:10 μ.μ.

    Έστω Α,Β,Γ οι γωνίες και α,β,γ οι απέναντι πλευρές και (α+β)/2>γ.
    Από νόμο ημιτόνων:
    ημΑ/α=ημΒ/β=ημΓ/γ =>
    [(ημΑ+ημΒ)/2]/[(α+β)/2]=ημΓ/γ =>
    (ημΑ+ημΒ)/2>ημΓ
    Αλλά σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει πάντα: ημ[(Α+Β)/2] ≥ (ημΑ+ημΒ)/2 (γιατί?), επομένως
    ημ[(Α+Β)/2] > ημΓ => (Α+Β)/2 > Γ ό.έ.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. kfd19 Αυγούστου 2023 στις 10:13 μ.μ.

    $\frac{sinA+sinB}{2}\leq sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A+B}{2}\leq sin\frac{A+B}{2}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)