Κυριακή 13 Αυγούστου 2023

Μικρότερη τιμή

Η μικρότερη τιμή του πραγματικού αριθμού $k$ ώστε η σχέση
$(x^2 + y^2 + z^2)^2 ≤ k(x^4 + y^4 + z^4)$ 
να ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x, y$ και $z$ είναι
(α) $1$      (β) $2$      (γ) $3$      (δ) $6$      (ε) $9$
Αναρτήθηκε από στις 13.8.23
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. kfd13 Αυγούστου 2023 στις 8:52 μ.μ.

    Για $k=1$ προκύπτει η:$x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+z^{2}y^{2}\leq 0$, που ισχύει μόνο αν είναι όλοι 0.
    Για $k=2$ δεν ισχύει για $x=y=z=1$.
    Για $k=3$ προκύπτει η ανισοταυτότητα
    $x^{4}+y^{4}+z^{4}-x^{2}y^{2}-x^{2}z^{2}-y^{2}z^{2}\geq 0$, που είναι ισοδύναμη με την
    $\left ( x^{2}-y^{2} \right )^{2}+\left ( x^{2}-z^{2} \right )^{2}+\left ( z^{2}-y^{2} \right )^{2}\geq 0$, πολλαπλασιάζοντας επί 2. Άρα η τιμή 3 οκ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)